Pourquoi accepte-t-on de payer une assurance plus chère que la perte moyenne ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me demandais pourquoi tant de gens s'assurent, alors que les assureurs font des bénéfices : en moyenne, on paie plus qu'on ne reçoit. Ce n'est pas irrationnel. En SES, on parle d'aversion au risque ; en mathématiques, elle se modélise par une fonction concave. J'ai voulu calculer le prix maximal qu'une personne prudente accepte de payer.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une fonction concave pour modéliser l'aversion au risque, calculer une espérance d'utilité et un équivalent certain.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un ménage possède 40 000 € et risque, avec une probabilité de 10 %, une perte de 30 000 € (incendie). La perte moyenne est de 3 000 €. Problématique : combien est-il prêt à payer pour s'assurer, et pourquoi plus que 3 000 € ?

2. 2. Mathématiques : utilité espérée

   4 min

   On modélise la satisfaction par une fonction d'utilité concave, par exemple $u(w)=\sqrt{w}$u(w)= √w : chaque euro supplémentaire apporte moins de satisfaction que le précédent.

   Sans assurance : $E(u)=0,9\sqrt{40000}+0,1\sqrt{10000}=0,9\times 200+0,1\times 100=190$E(u)=0,9√(40 000)+0,1√(10 000)=0,9×200+0,1×100=190. Le patrimoine certain donnant la même utilité est l'équivalent certain : $\sqrt{w}=190$√w =190, soit $w=36100$w=36 100 €.

   Le ménage est donc indifférent entre la situation risquée et 36 100 € certains : il est prêt à payer jusqu'à $40000-36100=3900$40 000-36 100=3 900 € pour s'assurer, soit 900 € de plus que la perte moyenne. Cette différence est la prime de risque. Elle vient de la concavité : l'espérance de l'utilité est inférieure à l'utilité de l'espérance ($190<\sqrt{37000}\approx 192,4$190<√(37 000)≈192,4).

3. 3. SES : un échange avantageux pour tous

   3 min

   L'assureur, qui mutualise les risques, a besoin d'environ 3 000 € par client plus ses frais ; l'assuré accepte jusqu'à 3 900 €. Il existe donc un prix qui satisfait les deux : l'assurance crée de la valeur en transférant le risque de ceux qui le craignent vers celui qui peut le supporter.

   En SES, on étudie aussi les limites du modèle : beaucoup de personnes sous-estiment les risques rares ou ne s'assurent pas faute de moyens, ce qui justifie certaines assurances obligatoires (responsabilité civile automobile, assurance habitation pour les locataires).

4. 4. Conclusion

   2 min

   On accepte de payer une assurance plus chère que la perte moyenne parce qu'on est averse au risque : avec une utilité concave, un patrimoine certain de 36 100 € vaut autant qu'une situation risquée de moyenne 37 000 €. L'assurance profite ainsi à l'assuré comme à l'assureur. J'ouvre sur l'économie comportementale, qui montre que la perception des risques s'écarte souvent de ce modèle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre espérance de l'utilité et utilité de l'espérance.
• Dire que s'assurer est irrationnel parce que l'assureur gagne en moyenne.
• Oublier que la fonction d'utilité est un modèle.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Compléments sur la dérivation (Terminale spé maths) →

Autres questions : risque, assurance et décision

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