Comment une compagnie d'assurance calcule-t-elle le prix d'un contrat ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant l'assurance de la voiture familiale, je me suis demandé comment l'assureur fixait le prix, alors qu'il ne sait pas si nous aurons un accident. En SES, on étudie l'assurance comme une façon de gérer les risques ; en mathématiques, j'ai reconnu une espérance. Le prix d'un contrat repose sur une moyenne de pertes possibles.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire de perte et comprendre comment elle fonde la tarification d'un risque.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un conducteur a chaque année une probabilité de 1 % d'avoir un accident coûtant 20 000 €. Problématique : quel prix l'assureur doit-il demander, et pourquoi ce prix est-il « juste » ?

2. 2. Mathématiques : la prime pure

   3,5 min

   La perte annuelle $X$X vaut 20 000 avec la probabilité 0,01 et 0 sinon. Son espérance : $E(X)=0,01\times 20000=200$E(X)=0,01×20 000=200 €. C'est la prime pure : en moyenne, l'assureur paiera 200 € par assuré.

   Si les assurés présentent des risques différents (par exemple 2 % pour un jeune conducteur, 0,5 % pour un conducteur expérimenté), les primes pures diffèrent : 400 € et 100 €. L'assureur segmente ses clients selon des critères observables.

   Pour plusieurs sinistres possibles, l'espérance additionne : $E(X)=\sum x_{i}P(X=x_i)$E(X)=Σ xᵢP(X=xᵢ). Un vol (0,5 % de chances, 5 000 €) ajoute 25 € à la prime pure.

3. 3. SES : chargement et mutualisation

   3,5 min

   Le prix réel est la prime pure augmentée d'un chargement : frais de gestion, commissions, rémunération du capital et marge de sécurité. On paie donc plus que sa perte moyenne : c'est le prix de la sécurité.

   Pour l'assureur, le calcul est fiable parce qu'il a de nombreux clients : d'après la loi des grands nombres, la perte moyenne de son portefeuille est proche de 200 €. C'est la mutualisation : les cotisations de tous paient les sinistres de quelques-uns. Elle suppose des risques à peu près indépendants : une catastrophe naturelle, qui touche tout le monde à la fois, est plus difficile à assurer.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Un assureur fixe sa prime à partir de l'espérance des sinistres, ici 200 € par an, plus un chargement. La loi des grands nombres garantit que, sur un grand portefeuille, les sinistres totaux sont proches de leur espérance. J'ouvre sur l'aversion au risque, qui explique pourquoi les assurés acceptent de payer plus que leur perte moyenne.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que la prime correspond à la perte maximale.
• Oublier le chargement dans le prix final.
• Supposer des risques indépendants quand ils ne le sont pas.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →

Autres questions : risque, assurance et décision

• Pourquoi un assureur ne risque-t-il presque rien alors que chacun de ses clients court un risque important ?
• Pourquoi accepte-t-on de payer une assurance plus chère que la perte moyenne ?
• Pourquoi les contrats d'assurance comportent-ils une franchise ?
• Comment fonctionne le bonus-malus de l'assurance automobile ?

Toutes les questions maths-ses →