Question transversaleMathsSESRisque, assurance et décision

Comment fonctionne le bonus-malus de l'assurance automobile ?

Q: Combien de sinistres faut-il pour qu'un conducteur à 1 dépasse 2 ?

$1,25ⁿ>2⇔ n>ln2/ln1,25≈3,1$ : 4 sinistres responsables.

Chaque année sans sinistre responsable, le coefficient est multiplié par 0,95 ; chaque sinistre responsable le multiplie par 1,25. Sans arrondi, il faudrait 14 ans pour atteindre le plancher de 0,50 (car 0,95¹³ ≈ 0,513) ; l'arrondi par défaut à deux décimales le fait atteindre en 13 ans.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand ma sœur a eu son permis, elle a découvert le « coefficient de réduction-majoration » sur son contrat d'assurance. Elle m'a demandé combien de temps il lui faudrait pour obtenir le meilleur tarif. En étudiant la règle, j'ai reconnu une suite géométrique, avec une subtilité d'arrondi qui change la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une règle tarifaire par une suite géométrique, résoudre une inéquation par le logarithme, et tenir compte d'un arrondi.

Mathématiques

Suites géométriques, inéquation qⁿ ≤ k (première)
Logarithme (terminale)
Algorithme de seuil, partie entière (première, terminale)

Sciences économiques et sociales

Assurance, incitations, aléa moral (première)
Tarification selon le comportement (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
En France, la prime d'assurance automobile est multipliée par un coefficient de réduction-majoration, qui part de 1 pour un nouveau conducteur. Problématique : comment évolue-t-il, et combien de temps faut-il pour atteindre le bonus maximal ?
2. Mathématiques : une suite géométrique
4 min
Chaque année sans sinistre responsable, le coefficient est multiplié par 0,95 (5 % de bonus), avec un plancher de 0,50. Sans arrondi, $c_{n} = 0, 9 5^{n}$ cₙ=0,95ⁿ : suite géométrique.
On cherche $n$ n tel que $0, 9 5^{n} \leq 0, 5$ 0,95ⁿ≤0,5 : $n \geq \frac{l n 0 , 5}{l n 0 , 95} \approx 13, 5$ n≥ln0,5/ln0,95≈13,5, donc 14 ans, car $0, 9 5^{13} \approx 0, 513$ 0,95¹³≈0,513.
Mais la réglementation arrondit le coefficient par défaut à deux décimales chaque année : 1 ; 0,95 ; 0,90 ; 0,85 ; 0,80 ; 0,76 ; 0,72 ; 0,68 ; 0,64 ; 0,60 ; 0,57 ; 0,54 ; 0,51 ; puis 0,50 la 13ᵉ année. Les arrondis successifs accélèrent la baisse : on atteint le plancher en 13 ans. Un algorithme de seuil en Python, avec la fonction partie entière, reproduit exactement ce calcul.
Un sinistre responsable multiplie le coefficient par 1,25 : depuis 0,50, on passe à 0,625 (arrondi à 0,62). Il faut alors $\frac{l n ( 0 , 5/0 , 62 )}{l n 0 , 95} \approx 4, 2$ (ln(0,5/0,62))/ln0,95≈4,2, soit environ 5 ans pour redescendre.
3. SES : une incitation à la prudence
3 min
Le bonus-malus est une réponse à l'aléa moral et à la sélection adverse : il ajuste le prix au comportement observé, information que l'assureur n'a pas au départ. Un conducteur prudent paie, à terme, la moitié du tarif de référence ; un conducteur qui accumule les sinistres paie beaucoup plus (le coefficient peut monter jusqu'à 3,50).
Il crée aussi un effet pervers : pour un petit sinistre, l'assuré préfère parfois payer lui-même plutôt que de perdre son bonus. Le système est réglementé par l'État pour éviter les abus et assurer sa transparence.
4. Conclusion
2 min
Le bonus-malus est une suite géométrique de raison 0,95 sans sinistre et 1,25 par sinistre responsable ; il faut 13 ans pour atteindre le plancher de 0,50, grâce aux arrondis successifs, au lieu des 14 ans du calcul exact. Il incite à la prudence en ajustant le prix au comportement. J'ouvre sur les assurances « au kilomètre » ou connectées, qui mesurent directement la conduite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

c_{n} = 0, 9 5^{n} 0, 9 5^{n} \leq 0, 5 ⟺ n \geq \frac{ln 0 , 5}{ln 0 , 95} \approx 13, 5 cₙ=0,95ⁿ 0,95ⁿ\leq0,5\Leftrightarrow n\geqln0,5/ln0,95\approx13,5 avec arrondis : 1; 0, 95; 0, 90; \dots; 0, 54; 0, 51; 0, 50 (13 ans) avec arrondis : 1; 0,95; 0,90; \dots; 0,54; 0,51; 0,50 (13 ans ) sinistre : 0, 50 \times 1, 25 = 0, 625 \to 0, 62 sinistre : 0,50\times1,25=0,625\to0,62

Conclusion : la réponse à la question

Le coefficient de bonus-malus suit une suite géométrique ; le logarithme donne la durée pour atteindre le plancher, et la règle d'arrondi la raccourcit d'un an. Ce dispositif tarifaire est une réponse à l'aléa moral, qui pousse à la prudence au volant.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les arrondis accélèrent-ils la baisse ?

On arrondit par défaut : chaque année, le coefficient perd un peu plus que 5 %.

Écrivez l'algorithme de seuil.

c = 1 ; n = 0 ; tant que c > 0,5 : c = max(0,5, partie entière(100 × 0,95 × c) / 100) ; n = n + 1. On affiche n.

Combien de sinistres faut-il pour qu'un conducteur à 1 dépasse 2 ?

$1, 2 5^{n} > 2 ⟺ n > \frac{l n 2}{l n 1 , 25} \approx 3, 1$ 1,25ⁿ>2⇔ n>ln2/ln1,25≈3,1 : 4 sinistres responsables.

Quel effet pervers le bonus-malus peut-il avoir ?

Il incite à ne pas déclarer les petits sinistres pour conserver son bonus.

En quoi répond-il à la sélection adverse ?

Il révèle progressivement le niveau de risque de chaque conducteur, que l'assureur ignorait au départ.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier l'arrondi réglementaire.
Diviser par 5 % par an au lieu de multiplier par 0,95.
Confondre coefficient de réduction et montant de la prime.

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