Pourquoi un assureur ne risque-t-il presque rien alors que chacun de ses clients court un risque important ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je trouvais étrange qu'une compagnie d'assurance accepte de payer 20 000 € à un client qui ne lui verse que quelques centaines d'euros. Pour le client, le risque est énorme ; pour l'assureur, il semble négligeable. En terminale, j'ai étudié la variance d'une moyenne et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : elles expliquent mathématiquement la mutualisation.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la variance d'une somme de variables indépendantes et utiliser une inégalité de concentration pour quantifier le risque d'un portefeuille.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Chaque assuré risque, avec une probabilité de 1 %, une perte de 20 000 €. L'assureur a 10 000 clients, dont les risques sont indépendants. Problématique : pourquoi le risque de l'assureur est-il beaucoup plus faible que celui de chaque client ?

2. 2. Mathématiques : la variance de la moyenne

   4 min

   Pour un assuré, $X=20000B$X=20 000 B avec $B$B de Bernoulli de paramètre 0,01. $E(X)=200$E(X)=200 et $V(X)=20000^2\times 0,01\times 0,99$V(X)=20 000²×0,01×0,99, soit un écart type $\sigma \approx 1990$σ≈1 990 €, dix fois l'espérance : le risque individuel est énorme.

   Pour la perte moyenne $M$M de 10 000 assurés indépendants : $E(M)=200$E(M)=200 et $V(M)=\frac{{\sigma }^2}{10000}$V(M)=σ²/(10 000), soit un écart type de $\frac{1990}{100}\approx 19,9$(1 990)/100≈19,9 € : seulement 10 % de l'espérance.

   L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P(|M-200|\ge 100)\le \frac{V(M)}{100^2}\approx 0,04$P(|M-200|≥100)leqV(M)/100²≈0,04. La probabilité que la perte moyenne dépasse 300 € par client est inférieure à 4 %, et en réalité bien plus faible. Avec une prime de 300 €, l'assureur est presque sûr de couvrir les sinistres.

3. 3. SES : les conditions de la mutualisation

   3 min

   La mutualisation suppose l'indépendance des risques. Si tous les assurés subissent le même événement (inondation, pandémie), les pertes s'additionnent au lieu de se compenser, et la variance ne diminue plus. Les assureurs se réassurent alors auprès d'autres compagnies, et l'État intervient pour les grands risques.

   Elle suppose aussi un grand nombre d'assurés : c'est pourquoi l'assurance est plus fiable pour les grandes compagnies et pour les systèmes publics, comme l'assurance maladie, qui couvrent toute la population.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Un assureur risque peu parce que la moyenne de nombreuses pertes indépendantes varie beaucoup moins qu'une perte isolée : l'écart type est divisé par $\sqrt{n}$√n. C'est le fondement mathématique de la mutualisation, qui échoue quand les risques sont corrélés. J'ouvre sur la réassurance et sur le rôle de l'État face aux catastrophes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que l'assureur est certain du montant des sinistres d'une année.
• Oublier l'hypothèse d'indépendance.
• Diviser l'écart type par n au lieu de √n.

Revoir les notions

• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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