Question transversaleMathsSESÉconomie de l'environnement

À quel rythme faut-il réduire les émissions pour respecter un budget carbone ?

Q: Pourquoi l'intégrale sur [0 ; +∞[ est-elle finie ?

$e^(-rT)→0$ quand $T→+∞$ : la limite vaut $40/r$.

Q: Si l'on attend 5 ans, quelle baisse linéaire ensuite ?

Il reste 200 Gt : $1/2×40× T=200$, $T=10$ ans.

Le total des émissions futures est l'aire sous la courbe des émissions. Avec 40 Gt par an et un budget de 400 Gt, une baisse linéaire doit atteindre zéro en 2 × 400/40 = 20 ans ; une baisse exponentielle E₀e^(−rt) totalise E₀/r, ce qui impose r = 10 % par an.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Les climatologues parlent d'un « budget carbone » : la quantité totale de CO₂ que l'humanité peut encore émettre pour limiter le réchauffement. J'ai voulu comprendre comment ce budget se traduit en rythme de réduction annuel. C'est une question d'aire sous une courbe, donc d'intégrale, et le résultat dépend de la forme de la trajectoire choisie.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une quantité cumulée comme une intégrale (aire d'un triangle, intégrale d'une exponentielle sur [0 ; +∞[) et en déduire une contrainte de rythme.

Mathématiques

Intégrale, aire sous une courbe (terminale)
Primitive de $e^{- r t}$ e^(-rt), limite en $+ \infty$ +∞ (terminale)
Fonctions affines (seconde)

Sciences économiques et sociales

Changement climatique, politiques climatiques (terminale)
Soutenabilité de la croissance (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On suppose (valeurs arrondies pour l'exemple) que l'humanité émet 40 milliards de tonnes (Gt) de CO₂ par an et qu'il reste un budget de 400 Gt pour tenir un objectif de température. Problématique : à quel rythme réduire les émissions ?
2. Mathématiques : des aires sous des courbes
4 min
Les émissions cumulées entre aujourd'hui et la date $T$ T valent $\int_{0}^{T} E (t) d t$ ∫₀^(T)E(t) dt, l'aire sous la courbe des émissions annuelles.
À émissions constantes : $40 T = 400$ 40T=400 donne $T = 10$ T=10 ans, puis plus aucune émission possible.
Baisse linéaire jusqu'à zéro en $T$ T années : l'aire est un triangle, $\frac{1}{2} \times 40 \times T = 400$ 1/2×40× T=400, soit $T = 20$ T=20 ans. Il faut baisser de 2 Gt chaque année.
Baisse exponentielle $E (t) = 40 e^{- r t}$ E(t)=40e^(-rt) : $\int_{0}^{+ \infty} 40 e^{- r t} d t = lim_{T \to + \infty} \frac{40}{r} (1 - e^{- r T}) = \frac{40}{r}$ ∫₀^(+∞)40e^(-rt)dt=lim_T→+∞40/r(1-e^(-rT))=40/r. Le budget impose $\frac{40}{r} \leq 400$ 40/r≤400, soit $r \geq 10$ r≥10 % par an, sans jamais atteindre zéro. Dans tous les cas, l'effort est considérable : à titre de comparaison, la chute brutale des émissions mondiales en 2020 a été de l'ordre de 6 %.
3. SES : un enjeu de politiques publiques
3 min
Le budget carbone montre que le retard coûte cher : chaque année d'émissions constantes consomme une part du budget et impose ensuite une baisse plus rapide. Avec un budget de 400 Gt, attendre 5 ans à 40 Gt laisse 200 Gt : la baisse linéaire devrait alors atteindre zéro en 10 ans.
En SES, on étudie les instruments (taxe, quotas, normes, subventions) et les difficultés de la coopération internationale : le climat est un bien commun mondial, chaque pays étant tenté de laisser les autres faire l'effort. Les budgets réels sont incertains et dépendent de l'objectif choisi ; le calcul fixe des ordres de grandeur.
4. Conclusion
2 min
Respecter un budget carbone revient à contrôler l'aire sous la courbe des émissions : 400 Gt imposent d'atteindre zéro en 20 ans par une baisse linéaire, ou une baisse de 10 % par an selon une trajectoire exponentielle. Plus on attend, plus la baisse devra être rapide. J'ouvre sur la coopération internationale face à ce bien commun.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\overset{e}{ˊ} missions cumul \overset{e}{ˊ} es = \int_{0}^{T} E (t) d t émissions cumulées =\int₀^(T)E(t) dt lin \overset{e}{ˊ} aire : \frac{1}{2} \times 40 \times T = 400 ⟺ T = 20 ans linéaire : 1/2\times40\times T=400\Leftrightarrow T=20 ans exponentielle : \int_{0}^{+ \infty} 40 e^{- r t} d t = \frac{40}{r} \leq 400 ⟺ r \geq 0, 1 exponentielle : \int₀^(+\infty)40e^(-rt) dt=40/r\leq400\Leftrightarrow r\geq0,1

Conclusion : la réponse à la question

Un budget carbone limite l'aire sous la courbe des émissions : une intégrale traduit cette contrainte en rythme de réduction, 20 ans pour une baisse linéaire jusqu'à zéro, ou 10 % par an pour une baisse exponentielle. Tout retard rend l'effort ultérieur plus brutal.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez la primitive de 40e^(−rt).

$- \frac{40}{r} e^{- r t}$ -40/re^(-rt).

Pourquoi l'intégrale sur [0 ; +∞[ est-elle finie ?

$e^{- r T} \to 0$ e^(-rT)→0 quand $T \to + \infty$ T→+∞ : la limite vaut $\frac{40}{r}$ 40/r.

Si l'on attend 5 ans, quelle baisse linéaire ensuite ?

Il reste 200 Gt : $\frac{1}{2} \times 40 \times T = 200$ 1/2×40× T=200, $T = 10$ T=10 ans.

Pourquoi le climat est-il un bien commun mondial ?

Tous en profitent, personne ne peut en être exclu, et les émissions de chacun affectent tout le monde.

Qu'est-ce que le passager clandestin ?

Un acteur qui profite de l'effort des autres sans y contribuer, ce qui rend la coopération difficile.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre émissions annuelles et émissions cumulées.
Oublier que la baisse exponentielle n'atteint jamais zéro.
Présenter les valeurs de l'exemple comme des chiffres officiels précis.

Revoir les notions

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