Question transversaleMathsSESÉconomie de l'environnement

Combien de poissons peut-on pêcher chaque année sans épuiser la ressource ?

Q: Quels stocks sont compatibles avec une pêche de 80 tonnes ?

$0,4S-0,0004S²=80⇔ S²-1 000S+200 000=0$, soit $S≈276$ ou $724$ tonnes.

Avec une croissance logistique g(S) = rS(1 − S/K), le stock se renouvelle le plus vite à mi-capacité : g est maximale en S = K/2 et vaut rK/4. Pour r = 0,4 et K = 1 000 tonnes, on peut prélever au plus 100 tonnes par an durablement.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un documentaire sur la surpêche, j'ai appris que la morue de Terre-Neuve s'était effondrée dans les années 1990, et que les quotas de pêche européens sont fixés chaque année. Je me demandais comment on calcule ce qu'on peut pêcher sans épuiser la ressource. Le modèle utilisé repose sur une fonction du second degré dont on cherche le maximum.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser la croissance d'une population par une fonction du second degré et déterminer son maximum, interprété comme prélèvement durable.

Mathématiques

Second degré, sommet d'une parabole (première)
Dérivée et maximum (première)
Modèle logistique (ouverture)

Sciences économiques et sociales

Ressources communes, tragédie des communs (terminale)
Régulation : quotas de pêche, droits de propriété (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une population de poissons de biomasse $S$ S (en tonnes) croît d'autant plus vite qu'elle est grande, mais le milieu ne peut en nourrir plus que $K = 1000$ K=1 000 tonnes. Problématique : quelle quantité peut-on prélever chaque année sans réduire le stock ?
2. Mathématiques : la croissance logistique
4 min
On modélise l'accroissement annuel par $g (S) = r S (1 - \frac{S}{K})$ g(S)=rS(1-S/K) avec $r = 0, 4$ r=0,4 : presque proportionnel à $S$ S quand le stock est petit, nul quand il atteint la capacité $K$ K. C'est un trinôme en $S$ S : $g (S) = 0, 4 S - 0, 0004 S^{2}$ g(S)=0,4S-0,0004S².
Son maximum est au sommet : $g^{'} (S) = 0, 4 - 0, 0008 S = 0 ⟺ S = 500 = \frac{K}{2}$ g'(S)=0,4-0,0008S=0⇔ S=500=K/2. Il vaut $g (500) = 0, 4 \times 500 \times 0, 5 = 100$ g(500)=0,4×500×0,5=100 tonnes, soit $\frac{r K}{4}$ rK/4.
Si l'on pêche chaque année exactement l'accroissement naturel, le stock reste constant : c'est un prélèvement durable. Le prélèvement durable maximal, 100 tonnes, s'obtient en maintenant le stock à 500 tonnes. Pêcher 80 tonnes est durable avec un stock plus élevé (environ 724 tonnes) ; pêcher plus de 100 tonnes ne l'est jamais.
3. SES : la tragédie des communs
3 min
La mer est une ressource commune : chaque pêcheur a intérêt à pêcher plus, car le poisson qu'il laisse sera pris par un autre. Garrett Hardin a appelé cela la « tragédie des communs » : la somme des intérêts individuels conduit à la surexploitation.
Les solutions étudiées en SES : quotas fixés par les autorités (l'Union européenne fixe chaque année des totaux admissibles de captures), droits de pêche individuels échangeables, ou gestion collective par les communautés de pêcheurs, dont Elinor Ostrom (prix Nobel 2009) a montré l'efficacité. Le modèle logistique est simplifié, et l'incertitude sur $r$ r et $K$ K pousse à rester prudemment sous le maximum.
4. Conclusion
2 min
On peut pêcher durablement l'accroissement naturel du stock, maximal lorsque le stock est à la moitié de la capacité du milieu : ici 100 tonnes par an. Au-delà, la ressource décline. J'ouvre sur l'effondrement de la morue de Terre-Neuve, exemple de dépassement de cette limite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

g (S) = r S (1 - \frac{S}{K}) = 0, 4 S - 0, 0004 S^{2} g(S)=rS(1-S/K)=0,4S-0,0004S² g^{'} (S) = 0 ⟺ S = \frac{K}{2} = 500, g (\frac{K}{2}) = \frac{r K}{4} = 100 t/an g'(S)=0\Leftrightarrow S=K/2=500, g(K/2)=rK/4=100 t/an

Conclusion : la réponse à la question

Le rendement maximal durable est le sommet de la parabole de croissance logistique : $\frac{r K}{4}$ rK/4, obtenu en maintenant le stock à la moitié de la capacité du milieu. La tragédie des communs explique pourquoi une régulation est nécessaire pour ne pas le dépasser.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la croissance est-elle faible quand le stock est petit ?

Il y a peu de reproducteurs : l'accroissement est proportionnel au stock.

Et quand le stock est proche de K ?

La nourriture et l'espace manquent : l'accroissement tend vers 0.

Qu'est-ce que la tragédie des communs ?

La surexploitation d'une ressource en libre accès, chaque utilisateur ayant intérêt à prélever plus.

Quels stocks sont compatibles avec une pêche de 80 tonnes ?

$0, 4 S - 0, 0004 S^{2} = 80 ⟺ S^{2} - 1000 S + 200000 = 0$ 0,4S-0,0004S²=80⇔ S²-1 000S+200 000=0, soit $S \approx 276$ S≈276 ou $724$ 724 tonnes.

Qu'a montré Elinor Ostrom ?

Que des communautés peuvent gérer durablement des ressources communes grâce à des règles collectives, sans privatisation ni État central.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'on peut pêcher davantage si le stock est plus grand que K/2.
Confondre stock et prélèvement.
Présenter le modèle comme une prévision exacte.

Revoir les notions

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