Question transversaleMathsSESCroissance économique

Une ressource estimée à 100 ans de consommation durera-t-elle vraiment 100 ans ?

Q: Démontrez la formule de la somme géométrique.

$S=1+q+…+qⁿ⁻¹$, $qS=q+…+qⁿ$, donc $(q-1)S=qⁿ-1$.

Q: Combien de temps durent 1 000 ans de réserves à 2 % de croissance ?

$1,02ⁿ=21$, $n=ln21/ln1,02≈154$ ans.

Si la consommation croît de 2 % par an, les réserves R = 100 C₀ s'épuisent quand la somme géométrique C₀(1,02ⁿ − 1)/0,02 atteint R : au bout de ln(3)/ln(1,02) ≈ 55 ans, presque deux fois moins que prévu.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que certaines réserves de métaux ou d'énergie représentent « 100 ans de consommation actuelle ». Cela m'a paru rassurant, jusqu'à ce que je me demande ce qui se passe si la consommation augmente chaque année, comme le PIB. Avec la somme des termes d'une suite géométrique et un logarithme, j'ai trouvé une durée beaucoup plus courte.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la somme d'une suite géométrique et le logarithme pour évaluer la durée de vie d'une ressource face à une consommation croissante.

Mathématiques

Suites géométriques, somme des termes (première)
Logarithme, résolution de qⁿ = k (terminale)
Algorithme de seuil (première, terminale)

Sciences économiques et sociales

Limites écologiques de la croissance, soutenabilité (terminale)
Capital naturel, ressources épuisables (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Des réserves $R$ R représentent 100 ans de consommation actuelle $C_{0}$ C₀ : $R = 100 C_{0}$ R=100 C₀. Problématique : combien de temps dureront-elles si la consommation augmente de 2 % par an ?
2. Mathématiques : une somme géométrique
4 min
La consommation de l'année $k$ k vaut $C_{0} \times 1, 0 2^{k}$ C₀×1,02^(k). Après $n$ n années, la consommation cumulée est $C_{0} (1 + 1, 02 + \dots + 1, 0 2^{n - 1}) = C_{0} \frac{1 , 0 2 ^{n} - 1}{0 , 02}$ C₀(1+1,02+…+1,02ⁿ⁻¹)=C₀(1,02ⁿ-1)/0,02.
Les réserves sont épuisées quand cette somme atteint $100 C_{0}$ 100C₀ : $\frac{1 , 0 2 ^{n} - 1}{0 , 02} = 100$ (1,02ⁿ-1)/0,02=100, soit $1, 0 2^{n} = 3$ 1,02ⁿ=3 et $n = \frac{l n 3}{l n 1 , 02} \approx 55$ n=ln3/ln1,02≈55 ans. À 3 % par an : $1, 0 3^{n} = 4$ 1,03ⁿ=4, $n \approx 47$ n≈47 ans.
Formule générale : $n = \frac{l n ( 1 + g D )}{l n ( 1 + g )}$ n=(ln(1+gD))/(ln(1+g)), où $D$ D est la durée « statique ». Elle croît comme un logarithme de $D$ D : même des réserves dix fois plus grandes ( $D = 1000$ D=1 000 ans) ne dureraient que $\frac{l n 21}{l n 1 , 02} \approx 154$ ln21/ln1,02≈154 ans à 2 % de croissance.
3. SES : soutenabilité
3 min
En SES, la soutenabilité de la croissance pose la question du capital naturel. Une soutenabilité faible suppose qu'il peut être remplacé par du capital technique (recyclage, substitution) ; une soutenabilité forte considère que certains éléments sont irremplaçables.
Le calcul montre que la croissance exponentielle de la consommation rend les durées « statiques » trompeuses. Les prix, l'innovation et le recyclage modifient la trajectoire : quand une ressource se raréfie, son prix monte, ce qui freine la consommation et rend rentables de nouvelles réserves. Le modèle mathématique fixe un ordre de grandeur, pas une prévision.
4. Conclusion
2 min
Une ressource de 100 ans de consommation actuelle ne dure qu'environ 55 ans si la consommation croît de 2 % par an : la somme d'une suite géométrique rattrape vite les réserves. Le logarithme montre que multiplier les réserves ne rallonge que faiblement leur durée. J'ouvre sur le rapport Meadows de 1972, « Les limites à la croissance », qui reposait sur ce type de raisonnement.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C_{0} (1 + 1, 02 + \dots + 1, 0 2^{n - 1}) = C_{0} \frac{1 , 0 2 ^{n} - 1}{0 , 02} = 100 C_{0} C₀(1+1,02+\dots+1,02^(n-1))=C₀ (1,02ⁿ-1)/0,02=100 C₀ 1, 0 2^{n} = 3 ⟺ n = \frac{ln 3}{ln 1 , 02} \approx 55 ans n = \frac{ln ( 1 + g D )}{ln ( 1 + g )} 1,02ⁿ=3\Leftrightarrow n=ln3/ln1,02\approx55 ans n=(ln(1+gD))/(ln(1+g))

Conclusion : la réponse à la question

Avec une consommation qui croît de 2 % par an, des réserves de « 100 ans » s'épuisent en 55 ans : la somme géométrique et le logarithme montrent que la croissance exponentielle raccourcit fortement les durées de vie. Les mécanismes économiques (prix, innovation) peuvent modifier cette trajectoire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez la formule de la somme géométrique.

$S = 1 + q + \dots + q^{n - 1}$ S=1+q+…+qⁿ⁻¹, $q S = q + \dots + q^{n}$ qS=q+…+qⁿ, donc $(q - 1) S = q^{n} - 1$ (q-1)S=qⁿ-1.

Combien de temps durent 1 000 ans de réserves à 2 % de croissance ?

$1, 0 2^{n} = 21$ 1,02ⁿ=21, $n = \frac{l n 21}{l n 1 , 02} \approx 154$ n=ln21/ln1,02≈154 ans.

Qu'est-ce que la soutenabilité faible ?

L'idée que le capital naturel peut être compensé par d'autres formes de capital, pourvu que le stock total ne diminue pas.

Pourquoi les réserves estimées augmentent-elles parfois avec le temps ?

La hausse des prix et le progrès technique rendent exploitables des gisements auparavant non rentables.

Écrivez un algorithme qui trouve n sans logarithme.

On cumule la consommation année par année dans une boucle while tant que le cumul est inférieur aux réserves, en comptant les années.

Les pièges qui coûtent des points

Diviser les réserves par la consommation actuelle sans tenir compte de la croissance.
Oublier que la somme commence à la consommation de l'année 0.
Présenter le résultat comme une prévision certaine.

Revoir les notions

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