Question transversaleMathsSESCroissance économique

Comment calculer un taux de croissance annuel moyen, et pourquoi ce n'est pas la moyenne des taux ?

Q: Comment calculer 1,2⁽1/5) sans calculatrice ?

Par le logarithme : $ln1,2/5≈0,182/5≈0,036$, puis $e^(0,036)≈1,037$.

Q: Démontrez que √(ab) ≤ (a + b)/2.

$(a+b)/2-√(ab)=(( √a - √b )²)/2≥0$.

Q: Après −50 %, quelle hausse ramène au départ ?

$0,5×(1+t)=1$ donne $t=100$ %.

+10 % puis −10 % ne ramènent pas au départ (0,99) : les taux se composent par multiplication. Le taux annuel moyen est t = (V_A/V_D)^(1/n) − 1, une moyenne géométrique : +20 % en 5 ans font 3,7 % par an, pas 4 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un article, j'ai lu que le PIB d'un pays avait augmenté de 20 % en cinq ans, soit « environ 3,7 % par an ». J'aurais naïvement divisé 20 par 5. En SES, on m'a appris le taux de croissance annuel moyen, avec une racine n-ième. J'ai voulu comprendre pourquoi la moyenne arithmétique des taux est trompeuse et ce que mesure vraiment ce taux.

L'enjeu et les notions du programme

Distinguer moyenne arithmétique et moyenne géométrique et calculer un taux moyen à l'aide des puissances fractionnaires.

Mathématiques

Coefficients multiplicateurs, évolutions successives (seconde, première)
Racine $n$ n-ième, fonction $x \mapsto x^{1/ n}$ x↦ x^(1/n) (terminale)
Inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique (approfondissement)

Sciences économiques et sociales

Taux de croissance annuel moyen (savoir-faire quantitatifs, terminale)
Croissance économique, mesure par le PIB (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une grandeur augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Revient-elle à sa valeur initiale ? Problématique : comment résumer une suite d'évolutions par un taux annuel moyen ?
2. Mathématiques : les taux se multiplient
3,5 min
Une hausse de 10 % correspond au coefficient $1, 1$ 1,1, une baisse de 10 % à $0, 9$ 0,9. Ensemble : $1, 1 \times 0, 9 = 0, 99$ 1,1×0,9=0,99, une baisse de 1 %. La moyenne arithmétique des taux (0 %) se trompe.
Le taux moyen $t$ t est celui qui, répété $n$ n fois, produit la même évolution globale : $(1 + t)^{n} = \frac{V _{A}}{V _{D}}$ (1+t)ⁿ=V_A/V_D, d'où $t = (\frac{V _{A}}{V _{D}})^{1/ n} - 1$ t=(V_A/V_D)^(1/n)-1. Pour $+ 20$ +20 % en 5 ans : $1, 2^{1/5} - 1 \approx 3, 7$ 1,2^(1/5)-1≈3,7 %, et non 4 %. Pour $+ 100$ +100 % en 10 ans : $2^{1/10} - 1 \approx 7, 2$ 2^(1/10)-1≈7,2 %, et non 10 %.
$1 + t$ 1+t est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs, toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique (avec égalité seulement si tous les taux sont égaux).
3. SES : utiliser le bon indicateur
3,5 min
En SES, on compare les dynamiques de croissance de pays ou de périodes différentes : le taux annuel moyen permet de comparer des périodes de longueurs différentes. Exemple : un pays dont le PIB passe de 100 à 150 en 10 ans a un taux annuel moyen de $1, 5^{0, 1} - 1 \approx 4, 1$ 1,5^(0,1)-1≈4,1 %.
Le taux moyen lisse les fluctuations : une année de récession (−8 %) suivie d'une reprise (+8 %) laisse le PIB en dessous de son niveau initial ( $0, 92 \times 1, 08 \approx 0, 994$ 0,92×1,08≈0,994). Il faut donc toujours regarder aussi les évolutions année par année, que le taux moyen masque.
4. Conclusion
2 min
Le taux de croissance annuel moyen n'est pas la moyenne des taux, car les évolutions se composent par multiplication : c'est $(\frac{V _{A}}{V _{D}})^{1/ n} - 1$ (V_A/V_D)^(1/n)-1, fondé sur une moyenne géométrique. +20 % en cinq ans font 3,7 % par an. J'ouvre sur le rendement des placements financiers, calculé de la même façon.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

1, 1 \times 0, 9 = 0, 99 (1 + t)^{n} = \frac{V _{A}}{V _{D}} ⟺ t = (\frac{V _{A}}{V _{D}})^{1/ n} - 1 1,1\times0,9=0,99 (1+t)ⁿ=V_A/V_D\Leftrightarrow t=(V_A/V_D)^(1/n)-1 1, 2^{1/5} - 1 \approx 3, 7 % 2^{1/10} - 1 \approx 7, 2 % 1, 5^{1/10} - 1 \approx 4, 1 % 1,2^(1/5)-1\approx3,7 % 2^(1/10)-1\approx7,2 % 1,5^(1/10)-1\approx4,1 %

Conclusion : la réponse à la question

Les taux de croissance se composent par multiplication : le taux annuel moyen est fondé sur la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs, $(\frac{V _{A}}{V _{D}})^{1/ n} - 1$ (V_A/V_D)^(1/n)-1. La moyenne arithmétique des taux surestime toujours l'évolution réelle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Comment calculer 1,2^(1/5) sans calculatrice ?

Par le logarithme : $\frac{l n 1 , 2}{5} \approx \frac{0 , 182}{5} \approx 0, 036$ ln1,2/5≈0,182/5≈0,036, puis $e^{0, 036} \approx 1, 037$ e^(0,036)≈1,037.

Démontrez que √(ab) ≤ (a + b)/2.

$\frac{a + b}{2} - ab = \frac{( a - b ) ^{2}}{2} \geq 0$ (a+b)/2-√(ab)=(( √a - √b )²)/2≥0.

Après −50 %, quelle hausse ramène au départ ?

$0, 5 \times (1 + t) = 1$ 0,5×(1+t)=1 donne $t = 100$ t=100 %.

Pourquoi le taux moyen masque-t-il des informations ?

Il ne retient que les valeurs de départ et d'arrivée : une crise suivie d'une reprise peut donner le même taux moyen qu'une croissance régulière.

Quelle différence entre taux de variation et point de pourcentage ?

Passer d'un taux de chômage de 8 % à 9 % est une hausse d'un point, mais de 12,5 % en taux de variation.

Les pièges qui coûtent des points

Diviser le taux global par le nombre d'années.
Croire qu'une hausse et une baisse de même pourcentage se compensent.
Confondre points de pourcentage et pourcentage.

Revoir les notions

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