Question transversaleMathsSESCroissance économique

Pourquoi accumuler toujours plus de machines ne suffit-il pas à faire croître la production indéfiniment ?

Q: Que représente l'exposant 0,3 ?

L'élasticité de la production au capital : 1 % de capital en plus donne environ 0,3 % de production en plus ; c'est aussi la part du capital dans le revenu.

Q: Qu'est-ce qu'une productivité marginale ?

Le supplément de production apporté par une unité supplémentaire d'un facteur : la dérivée $(∂ Y)/(∂ K)$.

Q: Calculez 1,1⁰,3 approximativement.

$(1+0,1)^(0,3)≈1+0,3×0,1=1,03$ par l'approximation affine.

Avec Y = A·K^0,3·L^0,7, doubler capital et travail double la production (rendements d'échelle constants), mais augmenter le seul capital donne des gains décroissants : la fonction K ↦ K^0,3 est croissante et concave.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, on m'a expliqué que la croissance vient de l'accumulation du capital et du travail, mais aussi du progrès technique. Je me demandais pourquoi on insiste autant sur le progrès technique : il suffirait d'investir toujours plus. Avec une fonction de production de Cobb-Douglas, j'ai découvert que l'investissement seul rencontre des rendements décroissants, une propriété de la concavité.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une fonction puissance pour modéliser la production, étudier sa concavité et en tirer une conclusion économique.

Mathématiques

Fonctions puissances $x \mapsto x^{α}$ x↦ x^(\)alpha avec $0 < α < 1$ 0<α<1 (terminale)
Dérivée, convexité et concavité (terminale)
Propriétés des puissances $(λ x)^{α} = λ^{α} x^{α}$ (λ x)^(\)alpha=λ^(\)alpha x^(\)alpha (seconde)

Sciences économiques et sociales

Facteurs de production, combinaison productive (première, terminale)
Productivité, rendements, progrès technique (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On modélise la production d'une économie par $Y = A K^{0, 3} L^{0, 7}$ Y=A K^(0,3)L^(0,7) : $K$ K le capital, $L$ L le travail, $A$ A le niveau technologique (fonction de Cobb-Douglas). Problématique : que se passe-t-il quand on augmente les facteurs, ensemble ou séparément ?
2. Mathématiques : rendements d'échelle
3 min
Multiplions capital et travail par $λ$ λ : $A (λ K)^{0, 3} (λ L)^{0, 7} = λ^{0, 3 + 0, 7} A K^{0, 3} L^{0, 7} = λY$ A(λ K)^(0,3)(λ L)^(0,7)=λ^(0,3+0,7)AK^(0,3)L^(0,7)=λ Y. Doubler tous les facteurs double la production : les rendements d'échelle sont constants, car les exposants ont pour somme 1.
C'est cohérent : deux usines identiques produisent deux fois plus qu'une.
3. Mathématiques : rendements factoriels décroissants
4 min
À travail fixé, $Y$ Y dépend du capital par $f (K) = c K^{0, 3}$ f(K)=cK^(0,3). $f^{'} (K) = 0, 3 c K^{- 0, 7} > 0$ f'(K)=0,3cK^(-0,7)>0 : la production augmente. $f^{''} (K) = - 0, 21 c K^{- 1, 7} < 0$ f''(K)=-0,21cK^(-1,7)<0 : $f$ f est concave, la productivité marginale du capital diminue.
Augmenter le capital de 10 % n'augmente la production que de $1, 1^{0, 3} - 1 \approx 2, 9$ 1,1^(0,3)-1≈2,9 %. Chaque machine supplémentaire rapporte moins que la précédente, faute de travailleurs pour la faire fonctionner. Accumuler du capital sans progrès technique mène donc à un ralentissement de la croissance.
C'est pourquoi les économistes attribuent la croissance de long terme au progrès technique, représenté par $A$ A : il déplace la courbe vers le haut sans subir de rendements décroissants. Les théories de la croissance endogène cherchent à expliquer ce progrès (recherche, éducation, infrastructures).
4. Conclusion
2 min
Accumuler du capital ne suffit pas parce que la production en est une fonction concave : les rendements du capital sont décroissants. Seul le progrès technique, qui augmente $A$ A, permet une croissance durable du niveau de vie. J'ouvre sur la comptabilité de la croissance, qui mesure la part du progrès technique dans la croissance observée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Y = A K^{0, 3} L^{0, 7} A (λ K)^{0, 3} (λ L)^{0, 7} = λ Y Y=A K^(0,3)L^(0,7) A(λ K)^(0,3)(λ L)^(0,7)=λ Y f (K) = c K^{0, 3}, f^{'} (K) = 0, 3 c K^{- 0, 7} > 0, f^{''} (K) = - 0, 21 c K^{- 1, 7} < 0 f(K)=cK^(0,3), f'(K)=0,3 cK^(-0,7)>0, f''(K)=-0,21 cK^(-1,7)<0 K \times 1, 1 \Rightarrow Y \times 1, 1^{0, 3} \approx 1, 029 K\times1,1 \Rightarrow Y\times1,1^(0,3)\approx1,029

Conclusion : la réponse à la question

La fonction de Cobb-Douglas a des rendements d'échelle constants mais des rendements factoriels décroissants : augmenter le seul capital donne des gains de plus en plus faibles. La croissance de long terme repose donc sur le progrès technique, qui augmente l'efficacité de tous les facteurs.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que représente l'exposant 0,3 ?

L'élasticité de la production au capital : 1 % de capital en plus donne environ 0,3 % de production en plus ; c'est aussi la part du capital dans le revenu.

Qu'est-ce qu'une productivité marginale ?

Le supplément de production apporté par une unité supplémentaire d'un facteur : la dérivée $\frac{\partial Y}{\partial K}$ (∂ Y)/(∂ K).

Que se passe-t-il si α + β > 1 ?

Les rendements d'échelle sont croissants : doubler les facteurs fait plus que doubler la production (économies d'échelle).

Calculez 1,1^0,3 approximativement.

$(1 + 0, 1)^{0, 3} \approx 1 + 0, 3 \times 0, 1 = 1, 03$ (1+0,1)^(0,3)≈1+0,3×0,1=1,03 par l'approximation affine.

Pourquoi le progrès technique échappe-t-il aux rendements décroissants ?

Une idée peut être utilisée par tous sans s'épuiser : elle améliore l'efficacité de chaque facteur.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre rendements d'échelle et rendements d'un seul facteur.
Dire qu'une production concave diminue : elle augmente, mais de moins en moins.
Présenter la fonction de Cobb-Douglas comme une loi exacte de l'économie.

Revoir les notions

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