Une crue « centennale » ne peut-elle arriver qu'une fois par siècle ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant un article sur des inondations, j'ai vu qu'une rivière avait connu deux crues « centennales » en dix ans. J'ai d'abord cru à une erreur. En réalité, « centennale » ne signifie pas « une fois par siècle », mais « une chance sur cent chaque année ». J'ai voulu calculer la probabilité de subir au moins une telle crue sur la durée d'un crédit immobilier.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la probabilité d'au moins un succès lors d'épreuves indépendantes par l'événement contraire, et interpréter une durée de retour.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une crue centennale a, chaque année, une probabilité $p=0,01$p=0,01 de se produire. Problématique : quelle est la probabilité d'en subir au moins une pendant les 30 ans d'un crédit immobilier ?

2. 2. Mathématiques : l'événement contraire

   4 min

   On suppose les années indépendantes. La probabilité qu'il n'y ait aucune crue en 30 ans vaut $0,99^{30}\approx 0,74$0,99³⁰≈0,74. Donc la probabilité d'au moins une crue est $1-0,99^{30}\approx 0,26$1-0,99³⁰≈0,26 : plus d'une chance sur quatre.

   Sur 100 ans : $1-0,99^{100}\approx 0,63$1-0,99¹⁰⁰≈0,63, et non 1. Le nombre de crues en 100 ans suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100;0,01)$mathcal B(100;0,01), d'espérance 1 : en moyenne une crue par siècle, d'où le nom, mais avec une forte variabilité. Deux crues en dix ans restent possibles.

   Durée pour avoir une chance sur deux : $1-0,99^n\ge 0,5⟺n\ge \frac{\ln 0,5}{\ln 0,99}\approx 69$1-0,99ⁿ≥0,5⇔ n≥ln0,5/ln0,99≈69 ans. La durée moyenne d'attente de la première crue vaut $\frac{1}{p}=100$1/p=100 ans : c'est la « période de retour ».

3. 3. SES : assurer et prévenir

   3 min

   En France, les catastrophes naturelles sont couvertes par un régime public-privé (CatNat), financé par une surprime sur tous les contrats d'habitation : un risque qui touche simultanément de nombreux assurés ne se mutualise pas comme un risque individuel.

   Le calcul montre aussi que les individus sous-estiment les risques rares : « centennal » semble lointain. D'où l'importance de l'information (plans de prévention des risques, information des acheteurs) et de la prévention. Enfin, le changement climatique modifie les probabilités : une crue « centennale » d'hier peut devenir plus fréquente, ce qui rend les statistiques passées moins fiables.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une crue centennale n'arrive pas une fois par siècle : elle a une chance sur cent chaque année, ce qui donne 26 % de risque sur 30 ans et 63 % sur un siècle. L'événement contraire et la loi binomiale corrigent l'intuition. J'ouvre sur l'effet du changement climatique sur ces probabilités.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'un événement centennal se produit exactement une fois par siècle.
• Multiplier 30 par 1 % pour obtenir la probabilité.
• Oublier que les probabilités peuvent changer avec le climat.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

Autres questions : risque, assurance et décision

• Comment une compagnie d'assurance calcule-t-elle le prix d'un contrat ?
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