Question transversaleMathsSESMarché et prix

Pourquoi les prix agricoles oscillent-ils d'une année à l'autre ?

Q: Calculez p₄ à partir de p₀ = 20.

$p₄=30+(-0,5)⁴×(-10)=30-0,625=29,375$.

Si les agriculteurs décident leur production d'après le prix de l'année précédente, le prix suit pₙ₊₁ = a − b·pₙ, suite arithmético-géométrique : il oscille autour de l'équilibre, et converge si b < 1 (de 20 vers 30 par 35 ; 27,5 ; 31,25…) mais diverge si b > 1.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu qu'au XXᵉ siècle les prix du porc suivaient des cycles réguliers : une année chère poussait les éleveurs à produire plus, ce qui faisait chuter les prix l'année suivante, et ainsi de suite. On appelle cela le « cycle du porc ». En SES, c'est un exemple de marché qui ne s'ajuste pas immédiatement. Avec une suite arithmético-géométrique, j'ai pu modéliser ces oscillations.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un ajustement retardé par une suite arithmético-géométrique de raison négative et étudier sa convergence selon la valeur de la raison.

Mathématiques

Suites arithmético-géométriques, point fixe (première, terminale)
Suites géométriques de raison négative, convergence (terminale)

Sciences économiques et sociales

Marché concurrentiel, ajustement par les prix (première)
Anticipations des producteurs, marchés agricoles (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un agriculteur doit décider aujourd'hui de ce qu'il produira l'an prochain, sans connaître le prix futur ; il se fonde sur le prix actuel. Problématique : comment cette décision retardée fait-elle osciller les prix ?
2. Mathématiques : une suite récurrente
4 min
Demande $D (p) = 100 - 2 p$ D(p)=100-2p, offre décidée l'année précédente $q_{n + 1} = p_{n} + 10$ qₙ₊₁=pₙ+10. Le prix de l'année $n + 1$ n+1 égalise la demande et cette production : $100 - 2 p_{n + 1} = p_{n} + 10$ 100-2pₙ₊₁=pₙ+10, d'où $p_{n + 1} = 45 - 0, 5 p_{n}$ pₙ₊₁=45-0,5 pₙ.
Le point fixe vérifie $ℓ = 45 - 0, 5 ℓ$ ℓ=45-0,5ℓ, soit $ℓ = 30$ ℓ=30, le prix d'équilibre. L'écart $e_{n} = p_{n} - 30$ eₙ=pₙ-30 vérifie $e_{n + 1} = - 0, 5 e_{n}$ eₙ₊₁=-0,5 eₙ : suite géométrique de raison $- 0, 5$ -0,5. Depuis $p_{0} = 20$ p₀=20 : 35 ; 27,5 ; 31,25 ; 29,4… Le prix oscille et converge vers 30.
Si l'offre réagit plus fortement que la demande (par exemple $q_{n + 1} = 3 p_{n} - 20$ qₙ₊₁=3pₙ-20), on obtient $p_{n + 1} = 60 - 1, 5 p_{n}$ pₙ₊₁=60-1,5 pₙ : la raison $- 1, 5$ -1,5 a une valeur absolue supérieure à 1, les écarts s'amplifient et le prix diverge. Graphiquement, la trajectoire dessine une spirale entre les deux droites, d'où le nom de « toile d'araignée ».
3. SES : anticipations et régulation
3 min
Le modèle suppose des anticipations naïves : les producteurs pensent que le prix de demain sera celui d'aujourd'hui. Des producteurs qui apprennent, ou qui anticipent l'équilibre, stabilisent le marché.
Les marchés agricoles restent instables (météo, délais de production). C'est l'une des justifications historiques des politiques de régulation, comme la politique agricole commune européenne (prix garantis, stocks, quotas), et des marchés à terme, qui permettent aux producteurs de connaître à l'avance le prix de vente.
4. Conclusion
2 min
Les prix agricoles oscillent quand l'offre réagit avec retard au prix : le prix suit une suite arithmético-géométrique de raison négative, qui converge vers l'équilibre si l'offre réagit moins que la demande, et diverge sinon. J'ouvre sur les marchés à terme, qui réduisent l'incertitude des producteurs.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

100 - 2 p_{n + 1} = p_{n} + 10 ⟺ p_{n + 1} = 45 - 0, 5 p_{n}, ℓ = 30 100-2pₙ₊₁=pₙ+10\Leftrightarrow pₙ₊₁=45-0,5 pₙ, ℓ=30 p_{n + 1} - 30 = - 0, 5 (p_{n} - 30) 20 \to 35 \to 27, 5 \to 31, 25 \to 29, 4 \to \dots \to 30 pₙ₊₁-30=-0,5 (pₙ-30) 20\to35\to27,5\to31,25\to29,4\to\dots\to30 q_{n + 1} = 3 p_{n} - 20 : p_{n + 1} = 60 - 1, 5 p_{n} \Rightarrow divergence qₙ₊₁=3pₙ-20: pₙ₊₁=60-1,5 pₙ \Rightarrow divergence

Conclusion : la réponse à la question

Une offre qui réagit avec un an de retard fait osciller le prix autour de l'équilibre : la suite des écarts est géométrique de raison négative. Le marché se stabilise si l'offre réagit moins que la demande, et s'emballe dans le cas contraire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la raison est-elle négative ?

Un prix élevé fait produire beaucoup, ce qui fait baisser le prix suivant : les écarts changent de signe à chaque année.

Quelle est la condition générale de convergence ?

Le rapport des pentes (réactivité de l'offre sur réactivité de la demande) doit être inférieur à 1 en valeur absolue.

Que se passe-t-il si la raison vaut −1 ?

Le prix oscille indéfiniment entre deux valeurs, sans converger ni diverger.

Qu'est-ce qu'un marché à terme ?

Un marché où l'on fixe aujourd'hui le prix d'une livraison future, ce qui réduit l'incertitude pour le producteur.

Calculez p₄ à partir de p₀ = 20.

$p_{4} = 30 + (- 0, 5)^{4} \times (- 10) = 30 - 0, 625 = 29, 375$ p₄=30+(-0,5)⁴×(-10)=30-0,625=29,375.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le retard d'un an entre décision et production.
Conclure à la convergence sans regarder la valeur absolue de la raison.
Croire que le modèle décrit des producteurs parfaitement rationnels.

Revoir les notions

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