Baisser son prix fait-il toujours vendre plus et gagner plus ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un commerçant de mon quartier a baissé ses prix pour attirer des clients et s'est plaint de gagner moins. Je pensais pourtant qu'en vendant plus, il gagnerait plus. En SES, j'ai découvert l'élasticité-prix ; en mathématiques, j'ai étudié la fonction recette avec une dérivée. Les deux répondent ensemble à la question.

L'enjeu et les notions du programme

Définir l'élasticité comme rapport de variations relatives, la relier à la dérivée, et maximiser une recette par l'étude d'un trinôme.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Quand le prix baisse, la quantité vendue augmente, mais chaque unité rapporte moins. Problématique : quand une baisse de prix augmente-t-elle la recette, et quand la diminue-t-elle ?

2. 2. SES et maths : l'élasticité-prix

   3,5 min

   L'élasticité-prix est le rapport des variations relatives : $e=\frac{\Delta q/q}{\Delta p/p}$e=(Δ q/q)/(Δ p/p). Si le prix baisse de 1 % et la quantité augmente de 2 %, $e=-2$e=-2 : la demande est élastique. Pour de petites variations, $e\approx \frac{p{D}^{\prime }(p)}{D(p)}$e≈(p D'(p))/D(p).

   Pour $D(p)=100-2p$D(p)=100-2p : $e(p)=\frac{-2p}{100-2p}$e(p)=(-2p)/(100-2p). À $p=24$p=24, $e\approx -0,92$e≈-0,92 : demande peu élastique. À $p=40$p=40, $e=-4$e=-4. L'élasticité n'est pas la pente : sur une droite de demande, elle varie d'un point à l'autre.

3. 3. Mathématiques : maximiser la recette

   3,5 min

   La recette vaut $R(p)=pD(p)=100p-2p^2$R(p)=p D(p)=100p-2p², un trinôme de coefficient négatif. Son maximum est au sommet : $R^{\prime }(p)=100-4p=0$R'(p)=100-4p=0, soit $p=25$p=25 et $R(25)=1250$R(25)=1 250.

   Lien avec l'élasticité : $R^{\prime }(p)=D(p)+p{D}^{\prime }(p)=D(p)(1+e)$R'(p)=D(p)+pD'(p)=D(p)(1+e). Si $e<-1$e<-1 (demande élastique), $R^{\prime }<0$R'<0 : baisser le prix augmente la recette. Si $-1<e<0$-1<e<0 (demande inélastique), baisser le prix la diminue. Le maximum est atteint pour $e=-1$e=-1.

   Le commerçant était en zone inélastique : baisser son prix a fait vendre un peu plus, mais pas assez pour compenser. Les biens de première nécessité (carburant, électricité) ont une demande peu élastique à court terme.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Baisser son prix n'augmente la recette que si la demande est élastique ($e<-1$e<-1) : la recette, $R^{\prime }(p)=D(p)(1+e)$R'(p)=D(p)(1+e), est maximale quand l'élasticité vaut $-1$-1, ici à $p=25$p=25. J'ouvre sur les taxes sur le tabac : la demande étant peu élastique, elles rapportent beaucoup tout en réduisant peu la consommation à court terme.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre élasticité et pente de la courbe de demande.
• Croire que vendre plus fait toujours gagner plus.
• Oublier le signe négatif de l'élasticité-prix.

Revoir les notions

• Second degré (Première spé maths) →
• Dérivation et étude des fonctions (Première spé maths) →

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