Comment mesurer ce que les échanges rapportent aux acheteurs et aux vendeurs ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai acheté des écouteurs 40 € alors que j'aurais accepté de les payer 60 € : j'ai eu l'impression de « gagner » 20 €. En SES, cette idée s'appelle le surplus du consommateur. En additionnant les gains de tous les acheteurs, on obtient une aire sous une courbe, c'est-à-dire une intégrale. J'ai voulu montrer comment ce calcul mesure le bien-être créé par un marché.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter une intégrale comme une somme de gains individuels et l'utiliser pour évaluer l'efficacité d'un marché.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Chaque acheteur a un prix maximal qu'il accepte de payer ; chaque vendeur, un prix minimal. Au prix d'équilibre, beaucoup paient moins que leur maximum ou vendent plus cher que leur minimum. Problématique : comment additionner ces gains ?

2. 2. SES : les surplus

   3 min

   La demande inverse $p=50-\frac{q}{2}$p=50-q/2 donne, pour la $q$q-ième unité, le prix maximal que l'acheteur concerné accepterait. Au prix $p^{\ast }=24$p^(*)=24, cet acheteur gagne $50-\frac{q}{2}-24$50-q/2-24. Le surplus du consommateur additionne ces gains pour toutes les unités achetées.

   De même, l'offre inverse $p=\frac{q+20}{3}$p=(q+20)/3 donne le prix minimal du vendeur de la $q$q-ième unité ; il gagne $24-\frac{q+20}{3}$24-(q+20)/3. Le surplus total mesure les gains à l'échange.

3. 3. Mathématiques : des intégrales

   4 min

   Surplus du consommateur : $S_C={\int }_0^{52}\left(50-\frac{q}{2}-24\right)dq={\left[26q-\frac{q^2}{4}\right]}_0^{52}=1352-676=676$S_C=∫₀⁵²(50-q/2-24)dq=[26q-q²/4]₀⁵²=1 352-676=676. C'est l'aire du triangle de base 52 et de hauteur $50-24=26$50-24=26 : $\frac{1}{2}\times 52\times 26=676$1/2×52×26=676.

   Surplus du producteur : $S_P={\int }_0^{52}\left(24-\frac{q+20}{3}\right)dq=\frac{1}{2}\times 52\times \left(24-\frac{20}{3}\right)\approx 451$S_P=∫₀⁵²(24-(q+20)/3)dq=1/2×52×(24-20/3)≈451.

   Surplus total : environ 1 127. À l'équilibre concurrentiel, il est maximal : échanger moins de 52 unités laisserait des échanges mutuellement avantageux non réalisés ; échanger plus obligerait à vendre des unités à un prix inférieur au coût du vendeur ou supérieur au maximum de l'acheteur. L'intégrale transforme une somme de très nombreux petits gains en une aire calculable.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Les gains de l'échange se mesurent par les surplus, aires entre les courbes et le prix, calculées par des intégrales : 676 pour les consommateurs et environ 451 pour les producteurs. L'équilibre concurrentiel maximise leur somme. J'ouvre sur la perte de surplus causée par une taxe ou un monopole, la « perte sèche ».

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Calculer l'aire sous la courbe de demande sans retrancher le prix.
• Confondre surplus et profit comptable.
• Croire que le surplus total dit qui gagne le plus.

Revoir les notions

• Calcul intégral (Terminale spé maths) →
• Fonctions affines (Seconde) →

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