Question transversaleMathsSESMarché et prix

Comment le prix d'équilibre d'un marché se forme-t-il ?

Avec une demande D(p) = 100 − 2p, décroissante, et une offre O(p) = 3p − 20, croissante, le théorème des valeurs intermédiaires garantit un unique prix d'équilibre : p* = 24, pour une quantité échangée de 52. Au-dessus, il y a excès d'offre ; en dessous, pénurie.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, on représente le marché par deux droites qui se croisent, et l'on affirme que le prix « tend » vers leur intersection. Je me demandais pourquoi il existe toujours un tel prix, et pourquoi il serait unique. En mathématiques, j'ai trouvé la réponse dans les variations de deux fonctions et le théorème des valeurs intermédiaires.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser offre et demande par des fonctions monotones, justifier l'existence et l'unicité d'un équilibre et résoudre l'équation correspondante.

Mathématiques

Fonctions affines, sens de variation (seconde)
Théorème des valeurs intermédiaires, fonction strictement monotone (terminale)
Résolution d'équations et d'inéquations (seconde)

Sciences économiques et sociales

Marché concurrentiel, courbes d'offre et de demande, équilibre (première)
Excès d'offre, excès de demande, ajustement par les prix (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Sur un marché, les acheteurs demandent moins quand le prix monte, les vendeurs offrent plus. Problématique : existe-t-il toujours un prix qui égalise les deux, et comment le trouver ?
2. SES : offre, demande et ajustement
3 min
La demande $D (p) = 100 - 2 p$ D(p)=100-2p diminue avec le prix (les consommateurs se tournent vers d'autres biens) ; l'offre $O (p) = 3 p - 20$ O(p)=3p-20 augmente (produire devient plus rentable). Si le prix est trop élevé, l'offre dépasse la demande : les invendus poussent les vendeurs à baisser leurs prix. S'il est trop bas, la pénurie pousse les prix à la hausse.
Le prix d'équilibre est celui pour lequel les quantités offertes et demandées sont égales : le marché « se vide ».
3. Mathématiques : existence, unicité, calcul
4 min
On étudie l'excès de demande $E (p) = D (p) - O (p) = 120 - 5 p$ E(p)=D(p)-O(p)=120-5p. C'est une fonction continue et strictement décroissante. $E (0) = 120 > 0$ E(0)=120>0 (pénurie à prix nul) et $E (30) = - 30 < 0$ E(30)=-30<0 (excès d'offre). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $p^{*} \in] 0; 30 [$ p^(*)∈]0;30[ tel que $E (p^{*}) = 0$ E(p^(*))=0.
Ici : $120 - 5 p = 0$ 120-5p=0, soit $p^{*} = 24$ p^(*)=24 et $q^{*} = D (24) = 52$ q^(*)=D(24)=52. Le raisonnement ne dépend pas de la forme affine : il suffit que la demande soit décroissante, l'offre croissante, et que l'excès de demande change de signe. Pour des fonctions non affines, on approcherait $p^{*}$ p^(*) par dichotomie, comme le « tâtonnement » imaginé par l'économiste Léon Walras.
4. Conclusion
2 min
Le prix d'équilibre existe et il est unique parce que l'excès de demande est continu, strictement décroissant et change de signe : le théorème des valeurs intermédiaires le garantit. Ici, $p^{*} = 24$ p^(*)=24 et 52 unités sont échangées. J'ouvre sur les marchés où l'ajustement ne se fait pas, quand un prix plancher ou plafond est imposé.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

D (p) = 100 - 2 p, O (p) = 3 p - 20, E (p) = D (p) - O (p) = 120 - 5 p D(p)=100-2p, O(p)=3p-20, E(p)=D(p)-O(p)=120-5p E (0) = 120 > 0, E (30) = - 30 < 0 \Rightarrow \exists! p^{*}, E (p^{*}) = 0 E(0)=120>0, E(30)=-30<0 \Rightarrow \exists! p^(*), E(p^(*))=0 p^{*} = 24, q^{*} = 52 p^(*)=24, q^(*)=52

Conclusion : la réponse à la question

L'équilibre d'un marché concurrentiel est le zéro de l'excès de demande, fonction continue et décroissante : il existe et il est unique. Le modèle affine donne $p^{*} = 24$ p^(*)=24 et $q^{*} = 52$ q^(*)=52, et l'excès d'offre ou de demande explique le mouvement des prix vers cet équilibre.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la demande est-elle décroissante ?

Quand le prix monte, certains consommateurs renoncent ou achètent un substitut : la quantité demandée baisse.

Que se passe-t-il au prix de 30 ?

$D (30) = 40$ D(30)=40 et $O (30) = 70$ O(30)=70 : 30 unités invendues, les vendeurs baissent les prix.

Que devient l'équilibre si la demande augmente de 10 à tout prix ?

$110 - 2 p = 3 p - 20$ 110-2p=3p-20 donne $p^{*} = 26$ p^(*)=26 et $q^{*} = 58$ q^(*)=58 : prix et quantité augmentent.

Le TVI suffit-il pour l'unicité ?

Non : c'est la stricte monotonie de l'excès de demande qui garantit l'unicité.

Qu'est-ce qu'un marché concurrentiel ?

Un marché où de nombreux acheteurs et vendeurs, sans pouvoir sur le prix, échangent un bien homogène avec une information complète.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre une variation de la quantité demandée et un déplacement de la courbe de demande.
Affirmer l'existence de l'équilibre sans argument mathématique.
Oublier que le modèle suppose une concurrence parfaite.

Revoir les notions

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