Question transversaleMathsSESMarché et prix

Pourquoi des entreprises concurrentes ont-elles intérêt à s'entendre, et pourquoi les ententes sont-elles fragiles ?

Q: Démontrez 10 + 10δ + 10δ² + … = 10/(1 − δ).

C'est une série géométrique de raison $δ∈]0;1[$ : sa somme vaut $10/(1-δ)$.

Dans un duopole, baisser son prix est la meilleure réponse quoi que fasse l'autre, d'où un équilibre (5 ; 5) moins bon que l'entente (10 ; 10). En jeu répété, la coopération résiste si la valeur future, une série géométrique de facteur δ, l'emporte : ici dès δ ≥ 0,5.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que des fabricants de yaourts ou de téléphones avaient été condamnés pour s'être entendus sur les prix. Je me demandais pourquoi ils prennent ce risque, et pourquoi les ententes finissent souvent par se briser. En SES, on étudie l'oligopole avec la théorie des jeux, et en mathématiques j'ai pu calculer quand la coopération est rentable, grâce à une série géométrique.

L'enjeu et les notions du programme

Analyser une interaction stratégique avec une matrice de gains, puis comparer des sommes de séries géométriques pour étudier la coopération en jeu répété.

Mathématiques

Raisonnement logique, comparaison de cas (seconde)
Somme d'une série géométrique (terminale)
Inéquations (seconde)

Sciences économiques et sociales

Oligopole, interdépendance stratégique, ententes (première)
Politique de la concurrence (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Deux entreprises se partagent un marché. Chacune peut fixer un prix élevé ou bas. Gains (en millions) : toutes deux élevé, 10 chacune ; toutes deux bas, 5 chacune ; l'une basse et l'autre élevée, 15 pour la première et 2 pour la seconde. Problématique : que vont-elles faire ?
2. Mathématiques : un équilibre décevant
3 min
Raisonnons pour l'entreprise A. Si B choisit « élevé », A gagne 10 en élevé et 15 en bas : bas est meilleur. Si B choisit « bas », A gagne 2 en élevé et 5 en bas : bas est encore meilleur. « Bas » est une stratégie dominante, et de même pour B.
Équilibre : (bas ; bas), avec 5 chacune, alors que (élevé ; élevé) donnerait 10 à chacune. Chacun, en suivant son intérêt, aboutit à une situation pire pour les deux : c'est le dilemme du prisonnier. Une entente sur un prix élevé améliorerait leur situation, mais chacune aurait intérêt à la trahir.
3. Jeu répété : une série géométrique
4 min
Si le jeu se répète chaque année, avec un facteur $δ \in] 0; 1 [$ δ∈]0;1[ qui traduit la valeur du futur (actualisation, probabilité que le marché continue), coopérer pour toujours rapporte $10 + 10 δ + 10 δ^{2} + \dots = \frac{10}{1 - δ}$ 10+10δ+10δ²+…=10/(1-δ).
Trahir rapporte 15 la première année, puis l'autre se venge et l'on retombe à 5 : $15 + \frac{5 δ}{1 - δ}$ 15+5δ/(1-δ). La coopération est stable si $\frac{10}{1 - δ} \geq 15 + \frac{5 δ}{1 - δ}$ 10/(1-δ)≥15+5δ/(1-δ), soit $10 \geq 15 (1 - δ) + 5 δ$ 10≥15(1-δ)+5δ, c'est-à-dire $δ \geq \frac{1}{2}$ δ≥1/2.
Les ententes tiennent donc quand l'avenir compte assez. Elles sont fragiles quand le marché est incertain, quand les entreprises sont nombreuses (la trahison est plus tentante et moins visible), ou quand les autorités offrent la clémence au premier qui dénonce l'entente.
4. Conclusion
2 min
Des concurrents ont intérêt à s'entendre parce que la concurrence les mène à un équilibre moins favorable ; mais chacun a intérêt à trahir. En jeu répété, la coopération résiste si la valeur de l'avenir, mesurée par une série géométrique, est assez grande. J'ouvre sur les programmes de clémence, qui exploitent cette fragilité pour démanteler les cartels.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A \ B \overset{e}{ˊ} lev \overset{e}{ˊ} bas \overset{e}{ˊ} lev \overset{e}{ˊ} (10; 10) (15; 2) bas (2; 15) (5; 5) c|ccAbackslash B élevé bas ; hline élevé (10;10) (2;15) ; bas (15;2) (5;5) \frac{10}{1 - δ} \geq 15 + \frac{5 δ}{1 - δ} ⟺ 10 \geq 15 - 10 δ ⟺ δ \geq \frac{1}{2} 10/(1-δ)\geq15+5δ/(1-δ)\Leftrightarrow10\geq15-10δ\Leftrightarrowδ\geq1/2

Conclusion : la réponse à la question

Le dilemme du prisonnier explique à la fois l'intérêt des ententes et leur fragilité : la stratégie dominante mène à un équilibre défavorable, et la coopération n'est stable, en jeu répété, que si l'avenir compte assez ( $δ \geq \frac{1}{2}$ δ≥1/2 ici).

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce qu'une stratégie dominante ?

Une stratégie meilleure que les autres quelle que soit la décision de l'adversaire.

Qu'est-ce qu'un équilibre de Nash ?

Une situation où aucun joueur n'a intérêt à changer seul de stratégie.

Démontrez 10 + 10δ + 10δ² + … = 10/(1 − δ).

C'est une série géométrique de raison $δ \in] 0; 1 [$ δ∈]0;1[ : sa somme vaut $\frac{10}{1 - δ}$ 10/(1-δ).

Pourquoi les ententes sont-elles interdites ?

Elles reproduisent un comportement de monopole : prix plus élevés, perte de surplus pour les consommateurs.

Qu'est-ce qu'un programme de clémence ?

Une réduction d'amende pour l'entreprise qui dénonce la première une entente : cela rend la trahison plus attractive.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'intérêt individuel mène toujours à l'intérêt collectif.
Oublier l'actualisation dans le jeu répété.
Confondre équilibre de Nash et situation optimale.

Revoir les notions

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