Question transversaleMathsSESMarché et prix

Pourquoi un monopole fixe-t-il un prix plus élevé qu'un marché concurrentiel ?

Q: Pourquoi le monopole ne fixe-t-il pas un prix très élevé ?

Il perdrait trop de clients : à $p=50$, il ne vend plus rien.

Q: Que devient le prix si le coût passe à 20 ?

$π'(p)=140-4p=0$, $p=35$ : le prix augmente de la moitié de la hausse du coût.

Q: Vérifiez que l'élasticité vaut −1,5 à p = 30.

$(p D'(p))/D(p)=(30×(-2))/40=-1,5$.

Un monopole maximise son profit (p − c)·D(p) : avec D(p) = 100 − 2p et un coût unitaire de 10, la dérivée s'annule à p = 30, pour 40 unités et un profit de 800, contre p = 10 et 80 unités en concurrence. La perte sèche vaut ½ × 20 × 40 = 400.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que les prix des médicaments brevetés sont beaucoup plus élevés que ceux des génériques, et que les autorités de la concurrence sanctionnent les ententes. En SES, on étudie le monopole. J'ai voulu calculer le prix qu'il choisit en maximisant son profit avec une dérivée, et mesurer ce que la société y perd.

L'enjeu et les notions du programme

Maximiser une fonction profit du second degré et comparer deux situations de marché par leurs surplus.

Mathématiques

Second degré, sommet, dérivée (première)
Aires de triangles, intégrales (terminale)

Sciences économiques et sociales

Monopole, pouvoir de marché, concurrence imparfaite (première)
Politique de la concurrence (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une seule entreprise vend un produit, de coût unitaire $c = 10$ c=10, face à la demande $D (p) = 100 - 2 p$ D(p)=100-2p. Problématique : quel prix choisit-elle, et quelles en sont les conséquences ?
2. Mathématiques : maximiser le profit
3,5 min
Le profit vaut $π (p) = (p - 10) (100 - 2 p) = - 2 p^{2} + 120 p - 1000$ π(p)=(p-10)(100-2p)=-2p²+120p-1 000. $π^{'} (p) = - 4 p + 120$ π'(p)=-4p+120 s'annule en $p = 30$ p=30 ; le coefficient de $p^{2}$ p² étant négatif, c'est un maximum. Le monopole vend $D (30) = 40$ D(30)=40 unités et gagne $(30 - 10) \times 40 = 800$ (30-10)×40=800.
En concurrence, la concurrence entre vendeurs pousse le prix jusqu'au coût : $p = 10$ p=10, $80$ 80 unités, profit nul. Le monopole choisit un prix triple et vend deux fois moins.
Arbitrage : augmenter le prix rapporte plus sur chaque unité vendue, mais fait perdre des clients. À $p = 30$ p=30, l'élasticité vaut $\frac{- 2 \times 30}{40} = - 1, 5$ (-2×30)/40=-1,5 : le monopole se place toujours dans la zone élastique de la demande.
3. SES : la perte sèche
3,5 min
Le surplus des consommateurs passe de $\frac{1}{2} \times 80 \times 40 = 1600$ 1/2×80×40=1 600 en concurrence à $\frac{1}{2} \times 40 \times 20 = 400$ 1/2×40×20=400 en monopole. Le monopole en récupère 800 sous forme de profit. Il reste une perte sèche : les 40 unités non vendues, que des acheteurs valorisaient plus que leur coût de 10, représentent $\frac{1}{2} \times 20 \times 40 = 400$ 1/2×20×40=400.
C'est pourquoi la politique de la concurrence (Autorité de la concurrence, Commission européenne) sanctionne les abus de position dominante et les ententes. Certains monopoles sont pourtant tolérés : brevets (pour récompenser l'innovation) ou monopoles naturels (réseaux), alors régulés.
4. Conclusion
2 min
Un monopole fixe un prix plus élevé parce qu'il maximise son profit en tenant compte de l'effet de son prix sur la demande : ici 30 au lieu de 10. Les consommateurs y perdent, et une partie du surplus disparaît. J'ouvre sur l'oligopole, où quelques entreprises se font concurrence et où le prix se situe entre les deux extrêmes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

π (p) = (p - 10) (100 - 2 p), π^{'} (p) = 120 - 4 p = 0 ⟺ p = 30 π(p)=(p-10)(100-2p), π'(p)=120-4p=0\Leftrightarrow p=30 monopole : q = 40, π = 800 concurrence : p = 10, q = 80 monopole : q=40, π=800 concurrence : p=10, q=80 S_{C} : 1600 \to 400 perte s \overset{e}{ˋ} che = \frac{1}{2} \times 20 \times 40 = 400 S_C: 1 600\to400 perte sèche =1/2\times20\times40=400

Conclusion : la réponse à la question

Le monopole maximise $(p - c) D (p)$ (p-c)D(p) et choisit un prix supérieur au coût : 30 au lieu de 10, avec deux fois moins d'unités vendues. Une partie du surplus des consommateurs devient son profit, une autre disparaît : la perte sèche justifie la politique de la concurrence.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le monopole ne fixe-t-il pas un prix très élevé ?

Il perdrait trop de clients : à $p = 50$ p=50, il ne vend plus rien.

Qu'est-ce qu'un monopole naturel ?

Un secteur où une seule entreprise produit à moindre coût que plusieurs, à cause de coûts fixes énormes (réseaux ferrés, électriques).

Que devient le prix si le coût passe à 20 ?

$π^{'} (p) = 140 - 4 p = 0$ π'(p)=140-4p=0, $p = 35$ p=35 : le prix augmente de la moitié de la hausse du coût.

Pourquoi accorder des brevets ?

Pour permettre à l'innovateur de récupérer ses coûts de recherche ; sans protection temporaire, l'innovation serait moins rentable.

Vérifiez que l'élasticité vaut −1,5 à p = 30.

$\frac{p D ^{'} ( p )}{D ( p )} = \frac{30 \times ( - 2 )}{40} = - 1, 5$ (p D'(p))/D(p)=(30×(-2))/40=-1,5.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre maximisation de la recette et du profit.
Croire que le monopole fixe le prix le plus élevé possible.
Oublier la perte sèche dans le bilan.

Revoir les notions

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