Question transversaleMathsSESCroissance économique

Pourquoi l'indice de développement humain utilise-t-il une moyenne géométrique ?

Q: Pourquoi la moyenne géométrique est-elle inférieure à la moyenne arithmétique ?

Par concavité du logarithme : $ln(a+b+c)/3≥(ln a+ln b+ln c)/3=ln(abc)^(1/3)$.

Q: Montrez que passer de 1 000 à 2 000 et de 20 000 à 40 000 change l'indice de revenu d'autant.

Dans les deux cas, $ln y$ augmente de $ln2$.

Q: Que devient l'IDH si un indice est multiplié par 1,1 ?

Il est multiplié par $1,1^(1/3)≈1,032$, quel que soit l'indice.

L'IDH combine santé, éducation et revenu par une moyenne géométrique : (0,9 × 0,8 × 0,7)^(1/3) ≈ 0,80 ; mais pour (1 ; 1 ; 0,3), elle donne 0,67 contre 0,77 en moyenne arithmétique : un bon score ne compense pas entièrement un retard. Le revenu entre par son logarithme.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, j'ai découvert l'indice de développement humain, qui complète le PIB en ajoutant la santé et l'éducation. En lisant sa méthode de calcul, j'ai été surpris par une racine cubique et un logarithme. J'ai voulu comprendre ces choix : ils traduisent une conception du développement où l'on ne peut pas compenser un manque par un excès ailleurs.

L'enjeu et les notions du programme

Comparer moyennes arithmétique et géométrique, et comprendre le rôle du logarithme dans un indicateur composite.

Mathématiques

Moyennes arithmétique et géométrique (seconde, approfondissement)
Logarithme, concavité (terminale)
Racine cubique $x^{1/3}$ x^(1/3) (terminale)

Sciences économiques et sociales

Mesure de la richesse et du développement, limites du PIB (seconde, terminale)
Indicateurs composites, IDH (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'IDH du PNUD combine trois dimensions, chacune ramenée à un indice entre 0 et 1 : santé (espérance de vie), éducation (durée de scolarisation), niveau de vie (revenu national par habitant). Problématique : pourquoi les combiner par une moyenne géométrique ?
2. Mathématiques : deux moyennes
3,5 min
Moyenne arithmétique : $\frac{a + b + c}{3}$ (a+b+c)/3. Moyenne géométrique : $(ab c)^{1/3}$ (abc)^(1/3). Pour $(0, 9; 0, 8; 0, 7)$ (0,9;0,8;0,7) : $0, 80$ 0,80 et $\approx 0, 796$ ≈0,796, presque égales quand les indices sont proches.
Mais pour $(1; 1; 0, 3)$ (1;1;0,3) : moyenne arithmétique $\approx 0, 77$ ≈0,77, géométrique $0, 3^{1/3} \approx 0, 67$ 0,3^(1/3)≈0,67. La moyenne géométrique pénalise les déséquilibres ; elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Si un indice tend vers 0, elle tend vers 0 : un pays dont l'espérance de vie s'effondre ne peut pas être « sauvé » par son revenu.
Autre propriété : une même amélioration relative (+10 %) d'un indice augmente la moyenne géométrique du même facteur, quel que soit l'indice concerné.
3. SES : le revenu en logarithme
3,5 min
L'indice de revenu est calculé avec des logarithmes : $I = \frac{l n y - l n 100}{l n 75 000 - l n 100}$ I=(ln y-ln100)/(ln75 000-ln100), où $y$ y est le revenu par habitant (en dollars en parité de pouvoir d'achat). Pour $y = 20000$ y=20 000 : $I \approx 0, 80$ I≈0,80.
Le logarithme traduit l'idée que 1 000 dollars de plus comptent beaucoup pour un pays pauvre et peu pour un pays riche : la fonction est concave. Passer de 1 000 à 2 000 dollars augmente l'indice autant que passer de 20 000 à 40 000.
Ces choix sont normatifs : ils traduisent une conception du développement (les dimensions sont complémentaires, le revenu a une utilité décroissante). En SES, on discute ces choix et les limites de tout indicateur synthétique.
4. Conclusion
2 min
L'IDH utilise une moyenne géométrique pour qu'un bon score dans une dimension ne compense pas entièrement un retard dans une autre, et un logarithme du revenu pour traduire son utilité décroissante. Derrière les formules se cachent des choix de valeur. J'ouvre sur les indicateurs de bien-être et d'environnement qui complètent l'IDH.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

IDH = (I_{sant \overset{e}{ˊ}} \times I_{\overset{e}{ˊ} ducation} \times I_{revenu})^{1/3} IDH =(I_ santé \times I_ éducation \times I_ revenu )^(1/3) (1; 1; 0, 3) : g \overset{e}{ˊ} om. 0, 3^{1/3} \approx 0, 67 arith. \approx 0, 77 (1;1;0,3): géom. 0,3^(1/3)\approx0,67 arith. \approx0,77 I_{revenu} = \frac{ln y - ln 100}{ln 75 000 - ln 100} y = 20000 \Rightarrow I \approx 0, 80 I_ revenu =(ln y-ln100)/(ln75 000-ln100) y=20 000\Rightarrow I\approx0,80

Conclusion : la réponse à la question

La moyenne géométrique de l'IDH limite la compensation entre dimensions, et le logarithme du revenu reflète une utilité décroissante. Ces propriétés mathématiques traduisent une conception du développement humain, que l'on peut discuter.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la moyenne géométrique est-elle inférieure à la moyenne arithmétique ?

Par concavité du logarithme : $ln \frac{a + b + c}{3} \geq \frac{l n a + l n b + l n c}{3} = ln (ab c)^{1/3}$ ln(a+b+c)/3≥(ln a+ln b+ln c)/3=ln(abc)^(1/3).

Montrez que passer de 1 000 à 2 000 et de 20 000 à 40 000 change l'indice de revenu d'autant.

Dans les deux cas, $ln y$ ln y augmente de $ln 2$ ln2.

Quelles sont les limites de l'IDH ?

Il ignore les inégalités internes (corrigées par l'IDH ajusté aux inégalités), l'environnement, les libertés politiques.

Pourquoi exprimer le revenu en parité de pouvoir d'achat ?

Pour tenir compte des différences de prix entre pays : un dollar n'achète pas la même chose partout.

Que devient l'IDH si un indice est multiplié par 1,1 ?

Il est multiplié par $1, 1^{1/3} \approx 1, 032$ 1,1^(1/3)≈1,032, quel que soit l'indice.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'IDH est la moyenne arithmétique des indices.
Oublier le logarithme dans l'indice de revenu.
Présenter l'IDH comme une mesure objective et neutre.

Revoir les notions

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