Pourquoi les très hauts revenus suivent-ils une loi de Pareto ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai entendu parler de la « loi des 80/20 » de Vilfredo Pareto, qui avait observé qu'une petite part de la population détient une grande part des richesses. En cherchant, j'ai découvert que les très hauts revenus suivent une loi de puissance, et qu'en traçant les données avec des logarithmes on obtient une droite. J'ai voulu comprendre cette régularité étonnante.

L'enjeu et les notions du programme

Reconnaître une loi de puissance, la linéariser par le logarithme et interpréter son exposant.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Vers 1896, Vilfredo Pareto étudie les revenus déclarés de plusieurs pays et observe une même régularité dans le haut de la distribution. Problématique : quelle est cette loi, et que nous dit-elle des inégalités ?

2. 2. Mathématiques : une loi de puissance

   4 min

   Au-delà d'un seuil $x_0$x₀, la proportion des personnes dont le revenu dépasse $x$x est $P(X>x)={\left(\frac{x_0}{x}\right)}^{\alpha }$P(X>x)=(x₀/x)^(α), avec $\alpha$α entre 1,5 et 3 selon les pays et les époques.

   En prenant le logarithme : $\ln P(X>x)=\alpha \ln x_0-\alpha \ln x$ln P(X>x)=αln x₀-αln x. En traçant $\ln P$ln P en fonction de $\ln x$ln x, on obtient une droite de pente $-\alpha$-α : c'est ainsi que Pareto l'a découverte.

   Propriété remarquable : $\frac{P(X>2x)}{P(X>x)}=2^{-\alpha }$P(X>2x)/P(X>x)=2^(-α), quel que soit $x$x. Avec $\alpha =1,5$α=1,5, il y a $2^{1,5}\approx 2,8$2^(1,5)≈2,8 fois moins de personnes au-dessus de 2 millions qu'au-dessus de 1 million, et de même entre 200 000 € et 100 000 €. La distribution « se ressemble » à toutes les échelles.

3. 3. SES : un indicateur d'inégalité

   3 min

   Plus $\alpha$α est petit, plus la queue de distribution est épaisse et plus les très hauts revenus pèsent lourd : un $\alpha$α faible signale une forte concentration au sommet. On montre que, dans le haut de la distribution, le revenu moyen des personnes au-dessus d'un seuil $x$x vaut $\frac{\alpha }{\alpha -1}x$α/(α-1)x (pour $\alpha >1$α>1) : avec $\alpha =1,5$α=1,5, le triple du seuil.

   Les économistes (Piketty, Saez) utilisent cette propriété pour estimer la part des revenus du top 1 % à partir des statistiques fiscales. La loi de Pareto ne décrit pas tout : elle ne vaut que pour le haut de la distribution, le reste étant mieux décrit par d'autres modèles.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Les très hauts revenus suivent une loi de puissance : la proportion de personnes au-dessus d'un revenu $x$x décroît comme $x^{-\alpha }$x^(-α), ce qui donne une droite en coordonnées logarithmiques. L'exposant $\alpha$α mesure la concentration au sommet. J'ouvre sur les lois de puissance ailleurs : taille des villes, des entreprises, nombre d'abonnés sur les réseaux sociaux.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Appliquer la loi à toute la distribution.
• Confondre une loi de puissance et une loi exponentielle.
• Interpréter un α élevé comme une forte inégalité (c'est l'inverse).

Revoir les notions

• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →
• Statistiques descriptives (Seconde) →

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