Question transversaleMathsSESCroissance économique

Pourquoi un pays qui épargne beaucoup ne croît-il pas indéfiniment plus vite que les autres ?

Le capital par travailleur suit kₙ₊₁ = s·kₙ^0,3 + (1 − δ)kₙ : l'investissement croît moins vite que l'usure, et la suite converge vers k* = (s/δ)^(1/0,7) ≈ 7,2 pour s = 20 % et δ = 5 %. Sans progrès technique, la croissance s'arrête.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que la Chine a investi une part énorme de son PIB pendant des décennies, avec une croissance très forte, et qu'elle ralentit maintenant. Je me suis demandé si épargner beaucoup suffisait à croître vite pour toujours. Le modèle de Solow, étudié comme une suite définie par récurrence, montre qu'il existe un point d'équilibre vers lequel l'économie converge.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une suite définie par récurrence (point fixe, convergence) pour comprendre un modèle de croissance.

Mathématiques

Suites définies par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ), point fixe (terminale)
Suites monotones et bornées, convergence (terminale)
Fonctions puissances, concavité (terminale)

Sciences économiques et sociales

Investissement, épargne, accumulation du capital (première, terminale)
Sources de la croissance, rôle du progrès technique (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Chaque année, une économie épargne et investit une part $s$ s de sa production, tandis qu'une part $δ$ δ de son capital s'use. Problématique : le capital par travailleur, et donc la production, croît-il sans limite ?
2. Le modèle
3 min
Production par travailleur : $y = k^{0, 3}$ y=k^(0,3) (rendements décroissants du capital $k$ k par travailleur). Investissement : $s k^{0, 3}$ sk^(0,3). Usure : $δ k$ δ k. D'où la récurrence $k_{n + 1} = s k_{n}^{0, 3} + (1 - δ) k_{n}$ kₙ₊₁=skₙ^(0,3)+(1-δ)kₙ.
Avec $s = 0, 2$ s=0,2, $δ = 0, 05$ δ=0,05 et $k_{0} = 1$ k₀=1 : $k_{1} = 1, 15$ k₁=1,15, $k_{2} \approx 1, 30$ k₂≈1,30, $k_{3} \approx 1, 45$ k₃≈1,45, $k_{4} \approx 1, 60$ k₄≈1,60… La croissance du capital ralentit peu à peu.
3. Mathématiques : point fixe et convergence
4 min
Le capital ne change plus quand l'investissement compense exactement l'usure : $s k^{0, 3} = δ k$ sk^(0,3)=δ k, soit $k^{0, 7} = \frac{s}{δ}$ k^(0,7)=frac sδ et $k^{*} = (\frac{s}{δ})^{1/0, 7} = 4^{1/0, 7} \approx 7, 2$ k^(*)=(s/δ)^(1/0,7)=4^(1/0,7)≈7,2. C'est le point fixe de $f (k) = s k^{0, 3} + (1 - δ) k$ f(k)=sk^(0,3)+(1-δ)k.
Pour $k < k^{*}$ k<k^(*), $s k^{0, 3} > δ k$ sk^(0,3)>δ k : le capital augmente. On montre par récurrence que $k_{n} < k^{*}$ kₙ<k^(*) (car $f$ f est croissante et $f (k^{*}) = k^{*}$ f(k^(*))=k^(*)) et que $(k_{n})$ (kₙ) est croissante : majorée et croissante, elle converge, et sa limite est le point fixe $k^{*}$ k^(*).
Conséquence : sans progrès technique, la production par travailleur converge vers $y^{*} = k^{* 0, 3}$ y^(*)=k^(*0,3) et la croissance s'arrête. Une épargne plus forte élève le niveau d'équilibre ( $s = 0, 3$ s=0,3 donne $k^{*} = 6^{1/0, 7} \approx 13$ k^(*)=6^(1/0,7)≈13), mais pas la croissance de long terme. Seul le progrès technique, en augmentant la productivité, permet une croissance durable.
4. Conclusion
2 min
Un pays qui épargne beaucoup ne croît pas indéfiniment plus vite, car les rendements décroissants du capital font converger l'économie vers un état stationnaire, point fixe d'une suite récurrente. L'épargne fixe le niveau atteint, le progrès technique la croissance durable. J'ouvre sur la convergence conditionnelle : les pays pauvres, loin de leur état stationnaire, devraient croître plus vite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

k_{n + 1} = s k_{n}^{0, 3} + (1 - δ) k_{n}, s = 0, 2, δ = 0, 05 kₙ₊₁=s kₙ^(0,3)+(1-δ)kₙ, s=0,2, δ=0,05 s k^{0, 3} = δ k ⟺ k^{*} = (\frac{s}{δ})^{1/0, 7} = 4^{1/0, 7} \approx 7, 2 sk^(0,3)=δ k\Leftrightarrow k^(*)=(s/δ)^(1/0,7)=4^(1/0,7)\approx7,2 k_{0} = 1 \to 1, 15 \to 1, 30 \to 1, 45 \to 1, 60 \to \dots \to k^{*} k₀=1\to1,15\to1,30\to1,45\to1,60\to\dots\to k^(*)

Conclusion : la réponse à la question

Dans le modèle de Solow, le capital par travailleur est une suite récurrente qui converge vers un point fixe : l'investissement finit par seulement compenser l'usure. L'épargne fixe le niveau de vie de long terme, mais seule la hausse de la productivité entretient la croissance.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la suite est-elle croissante pour k < k* ?

$k_{n + 1} - k_{n} = s k_{n}^{0, 3} - δ k_{n} > 0$ kₙ₊₁-kₙ=skₙ^(0,3)-δ kₙ>0 tant que $k_{n} < k^{*}$ kₙ<k^(*).

Que se passe-t-il si un pays part d'un capital supérieur à k* (après une reconstruction, par exemple) ?

L'usure dépasse l'investissement : le capital diminue vers k*.

Calculez 4^(1/0,7) approximativement.

$\frac{l n 4}{0 , 7} \approx \frac{1 , 39}{0 , 7} \approx 1, 98$ ln4/0,7≈1,39/0,7≈1,98, et $e^{1, 98} \approx 7, 2$ e^(1,98)≈7,2.

Le modèle explique-t-il la croissance de long terme ?

Non : sans progrès technique, la croissance s'arrête. C'est une limite qui a motivé les théories de la croissance endogène.

Qu'est-ce que la convergence conditionnelle ?

Des pays de mêmes caractéristiques (épargne, démographie) convergent vers le même état stationnaire : le plus pauvre croît plus vite.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une épargne plus forte augmente la croissance de long terme.
Affirmer la convergence sans montrer monotonie et majoration.
Oublier l'usure du capital.

Revoir les notions

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