Question transversaleMathsSESMarché et prix

Combien de concurrents faut-il pour que les prix baissent vraiment ?

Q: Vérifiez que n = 1 redonne le monopole.

$q=45$, $p=55$ : le profit $(90-q)q$ est maximal en $q=45$.

Q: Quel est le profit total en duopole ?

Chacune produit 30 avec une marge de 30 : $2×900=1 800$, contre 2 025 en monopole.

Q: La suite (pₙ) est-elle décroissante ?

Oui : $90/(n+1)$ diminue quand $n$ augmente.

Dans le modèle de Cournot avec la demande p = 100 − Q et un coût de 10, le prix d'équilibre vaut 10 + 90/(n + 1) : 55 en monopole, 40 en duopole, 19 avec 9 entreprises. Il tend vers le coût quand n tend vers l'infini : la concurrence parfaite est une limite.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand un quatrième opérateur de téléphonie est arrivé en France, les forfaits ont nettement baissé. Je me suis demandé si un cinquième ou un sixième opérateur aurait autant d'effet. Avec le modèle de Cournot étudié en SES, on peut calculer le prix en fonction du nombre d'entreprises : c'est une suite qui tend vers le coût de production.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre un problème d'optimisation pour chaque entreprise, en déduire une suite en fonction du nombre de concurrents, et étudier sa limite.

Mathématiques

Dérivée, maximum d'un trinôme (première)
Suites $u_{n} = a + \frac{b}{n + 1}$ uₙ=a+b/(n+1), limite (terminale)
Résolution d'un système par symétrie (seconde)

Sciences économiques et sociales

Concurrence imparfaite, oligopole (première)
Pouvoir de marché, politique de la concurrence (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
$n$ n entreprises identiques, de coût unitaire 10, choisissent chacune leur quantité ; le prix résulte de la quantité totale : $p = 100 - Q$ p=100-Q. Problématique : comment le prix dépend-il de $n$ n ?
2. Mathématiques : l'équilibre de Cournot
4 min
L'entreprise $i$ i produit $q_{i}$ qᵢ ; les autres produisent $Q_{- i}$ Q₋ᵢ. Son profit vaut $(100 - q_{i} - Q_{- i} - 10) q_{i}$ (100-qᵢ-Q₋ᵢ-10) qᵢ, un trinôme en $q_{i}$ qᵢ. Il est maximal quand sa dérivée s'annule : $90 - 2 q_{i} - Q_{- i} = 0$ 90-2qᵢ-Q₋ᵢ=0.
Par symétrie, toutes produisent $q$ q et $Q_{- i} = (n - 1) q$ Q₋ᵢ=(n-1)q : $90 - 2 q - (n - 1) q = 0$ 90-2q-(n-1)q=0, soit $q = \frac{90}{n + 1}$ q=90/(n+1). Quantité totale : $Q = \frac{90 n}{n + 1}$ Q=90n/(n+1), prix : $p_{n} = 100 - \frac{90 n}{n + 1} = 10 + \frac{90}{n + 1}$ pₙ=100-90n/(n+1)=10+90/(n+1).
$p_{1} = 55$ p₁=55 (monopole), $p_{2} = 40$ p₂=40, $p_{3} = 32, 5$ p₃=32,5, $p_{9} = 19$ p₉=19, $p_{99} \approx 10, 9$ p₉₉≈10,9. La suite est décroissante et tend vers 10, le coût de production : la concurrence parfaite est la limite d'un oligopole quand le nombre d'entreprises tend vers l'infini.
3. SES : rendements décroissants de la concurrence
3 min
La marge $p_{n} - 10 = \frac{90}{n + 1}$ pₙ-10=90/(n+1) diminue de plus en plus lentement : passer de 1 à 2 entreprises la fait baisser de 45 à 30, de 3 à 4 de 22,5 à 18, de 9 à 10 seulement de 9 à 8,2. Les premiers concurrents comptent le plus.
C'est ce qu'a montré l'arrivée d'un quatrième opérateur mobile en France en 2012, avec une forte baisse des prix. Le modèle explique pourquoi les autorités de la concurrence surveillent surtout les fusions qui réduiraient le nombre d'acteurs sur des marchés déjà concentrés. Il suppose des entreprises identiques qui choisissent des quantités ; d'autres modèles (concurrence en prix, produits différenciés) donnent d'autres résultats.
4. Conclusion
2 min
Dans le modèle de Cournot, le prix vaut $10 + \frac{90}{n + 1}$ 10+90/(n+1) : il baisse avec le nombre de concurrents, rapidement au début puis de plus en plus lentement, et tend vers le coût. La concurrence parfaite apparaît comme une limite. J'ouvre sur les marchés numériques, où les effets de réseau favorisent au contraire la concentration.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

π_{i} = (90 - q_{i} - Q_{- i}) q_{i}, 90 - 2 q_{i} - Q_{- i} = 0 πᵢ=(90-qᵢ-Q₋ᵢ) qᵢ, 90-2qᵢ-Q₋ᵢ=0 q = \frac{90}{n + 1}, p_{n} = 10 + \frac{90}{n + 1} q=90/(n+1), pₙ=10+90/(n+1) p_{1} = 55, p_{2} = 40, p_{3} = 32, 5, p_{9} = 19, n \to + \infty lim p_{n} = 10 p₁=55, p₂=40, p₃=32,5, p₉=19, lim_n\to+inftypₙ=10

Conclusion : la réponse à la question

Le prix d'un oligopole de Cournot, $10 + \frac{90}{n + 1}$ 10+90/(n+1), diminue avec le nombre d'entreprises et tend vers le coût de production : les premiers concurrents font le plus baisser les prix, et la concurrence parfaite est la limite du modèle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que n = 1 redonne le monopole.

$q = 45$ q=45, $p = 55$ p=55 : le profit $(90 - q) q$ (90-q)q est maximal en $q = 45$ q=45.

Quel est le profit total en duopole ?

Chacune produit 30 avec une marge de 30 : $2 \times 900 = 1800$ 2×900=1 800, contre 2 025 en monopole.

La suite (pₙ) est-elle décroissante ?

Oui : $\frac{90}{n + 1}$ 90/(n+1) diminue quand $n$ n augmente.

Pourquoi les autorités surveillent-elles les fusions ?

Une fusion réduit le nombre de concurrents, ce qui peut augmenter les prix, surtout sur un marché déjà concentré.

Qu'est-ce qu'un effet de réseau ?

La valeur d'un service augmente avec le nombre de ses utilisateurs, ce qui favorise la domination d'un seul acteur.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que chaque entreprise tient compte de la production des autres.
Croire que le prix devient égal au coût dès quelques entreprises.
Généraliser le modèle à tous les marchés sans précaution.

Revoir les notions

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