Combien seriez-vous prêt à payer pour un jeu dont le gain moyen est infini ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai découvert un jeu proposé au XVIIIᵉ siècle par Nicolas Bernoulli : on lance une pièce jusqu'à obtenir pile, et l'on gagne 2 € si c'est au premier lancer, 4 € au deuxième, 8 € au troisième… Son gain moyen est infini, mais aucune personne raisonnable ne paierait cher pour y jouer. Ce paradoxe a donné naissance à la notion d'utilité, centrale en économie.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une espérance qui diverge, puis la somme d'une série convergente, pour comprendre le rôle d'une utilité concave dans la décision.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On lance une pièce jusqu'au premier « pile ». S'il arrive au $k$k-ième lancer, on gagne $2^k$2^(k) €. Problématique : combien vaut ce jeu, et pourquoi l'espérance ne suffit-elle pas à répondre ?

2. 2. Mathématiques : une espérance infinie

   3 min

   Le premier pile arrive au $k$k-ième lancer avec la probabilité $\frac{1}{2^k}$1/2^(k). Espérance du gain : ${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{2^k}\times 2^k=1+1+1+\dots$Σ_k≥11/2^(k)×2^(k)=1+1+1+… : la somme partielle des $n$n premiers termes vaut $n$n, elle tend vers $+\infty$+∞.

   Pourtant, la probabilité de gagner plus de 16 € (pile après le 4ᵉ lancer) n'est que de $\frac{1}{16}$1/16, et celle de gagner plus de 1 000 € inférieure à 0,1 %. Le gain médian est de 2 ou 4 €. L'espérance infinie vient de gains énormes extrêmement improbables.

3. 3. La solution de Bernoulli : l'utilité

   4 min

   Daniel Bernoulli propose en 1738 de raisonner sur l'utilité, qui croît moins vite que la richesse : $u(x)=\ln x$u(x)=ln x. Utilité espérée : ${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{2^k}\ln (2^k)=\ln 2{\sum }_{k\ge 1}\frac{k}{2^k}$Σ_k≥11/2^(k)ln(2^(k))=ln2Σ_k≥1k/2^(k).

   La série $\sum \frac{k}{2^k}$sumk/2^(k) converge et vaut 2 : $\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots =2$1/2+2/4+3/8+4/16+…=2. L'utilité espérée vaut donc $2\ln 2=\ln 4$2ln2=ln4 : le jeu équivaut, pour cette personne, à 4 € certains.

   Les gains énormes et improbables ne comptent presque plus, car le logarithme les comprime. C'est l'origine de la théorie de l'utilité espérée, qui explique l'aversion au risque et l'assurance. En SES, on la discute à la lumière de l'économie comportementale, qui montre d'autres biais (surpondération des faibles probabilités, aversion aux pertes).

4. 4. Conclusion

   2 min

   Le jeu de Saint-Pétersbourg a une espérance infinie, mais personne ne paierait cher pour y jouer : avec une utilité logarithmique, il ne vaut que 4 €. Le paradoxe a fondé l'idée qu'on décide selon l'utilité et non selon le gain moyen. J'ouvre sur les loteries, où l'on surpondère au contraire les très faibles probabilités de gros gains.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'une espérance infinie signifie un gain probable élevé.
• Oublier que la série des k/2ᵏ converge.
• Présenter l'utilité logarithmique comme une loi psychologique exacte.

Revoir les notions

• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

Autres questions : risque, assurance et décision

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