Pourquoi les emprunteurs jugés risqués paient-ils un taux d'intérêt plus élevé ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant l'actualité de la crise grecque, j'ai vu que la Grèce empruntait à plus de 20 % quand l'Allemagne empruntait presque gratuitement. Je me suis demandé comment les prêteurs fixent ces taux. En utilisant l'espérance d'une variable aléatoire, j'ai retrouvé la logique de la prime de risque : le taux compense la probabilité de ne pas être remboursé.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'espérance d'une variable aléatoire pour déterminer un taux d'intérêt compensant un risque de défaut.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un prêteur peut placer sans risque à $r=2$r=2 %. Il hésite à prêter à un emprunteur qui fera défaut avec une probabilité $p$p. Problématique : quel taux doit-il exiger ?

2. 2. Mathématiques : égaliser les espérances

   4 min

   Pour 1 € prêté au taux $i$i, le remboursement $X$X vaut $1+i$1+i avec probabilité $1-p$1-p, et 0 en cas de défaut (on suppose ici une perte totale). Son espérance est $E(X)=(1-p)(1+i)$E(X)=(1-p)(1+i).

   Un prêteur neutre au risque exige la même espérance que le placement sûr : $(1-p)(1+i)=1+r$(1-p)(1+i)=1+r, soit $i=\frac{1+r}{1-p}-1$i=(1+r)/(1-p)-1. Avec $p=5$p=5 % : $i=\frac{1,02}{0,95}-1\approx 7,4$i=1,02/0,95-1≈7,4 %. La prime de risque $i-r\approx 5,4$i-r≈5,4 points compense le défaut attendu.

   Pour $p$p petit, $\frac{1}{1-p}\approx 1+p$1/(1-p)≈1+p, donc $i\approx r+p$i≈ r+p : la prime est d'environ la probabilité de défaut. Si le prêteur récupère une partie $R$R en cas de défaut, la prime diminue : $(1-p)(1+i)+pR=1+r$(1-p)(1+i)+pR=1+r.

3. 3. SES : primes de risque et crises

   3 min

   En pratique, les prêteurs sont averses au risque : ils exigent une prime supérieure à celle qui égalise les espérances. Les agences de notation évaluent les probabilités de défaut, et les taux montent quand la note baisse.

   Un mécanisme dangereux apparaît : un taux élevé alourdit la charge de la dette, ce qui augmente le risque de défaut, donc le taux exigé. C'est une prophétie auto-réalisatrice, observée lors de la crise de la zone euro (2010-2012), jusqu'à ce que la Banque centrale européenne annonce qu'elle interviendrait. Le calcul de l'espérance éclaire la logique des taux, l'économie celle des crises.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Les emprunteurs risqués paient plus cher parce que le prêteur exige une espérance de remboursement au moins égale à celle d'un placement sûr : $i=\frac{1+r}{1-p}-1$i=(1+r)/(1-p)-1, soit environ $r+p$r+p. L'aversion au risque et les anticipations auto-réalisatrices amplifient ces primes. J'ouvre sur le rôle des banques centrales comme prêteur en dernier ressort.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier la probabilité de non-remboursement dans l'espérance.
• Additionner taux et probabilité sans justifier l'approximation.
• Croire que la prime de risque ne dépend que de la situation objective de l'emprunteur.

Revoir les notions

• Variables aléatoires (Première spé maths) →
• Dérivation locale (Première spé maths) →

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