Question transversaleMathsSESFinance et emprunt

Pourquoi le prix des obligations baisse-t-il quand les taux d'intérêt montent ?

Q: Pourquoi une échéance longue est-elle plus sensible ?

Le remboursement est divisé par $(1+r)ⁿ$ avec un grand $n$ : une petite variation de $r$ change beaucoup ce facteur.

Une obligation de 100 € à 5 ans versant 3 € par an vaut la somme actualisée de ses flux : 100 € si le taux du marché est 3 %, 95,5 € s'il passe à 4 %, 104,7 € s'il tombe à 2 %. Le prix est une fonction décroissante et convexe du taux.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En 2022, j'ai lu que des fonds de placement « sans risque » perdaient de l'argent à cause de la hausse des taux. Je ne comprenais pas : une obligation rapporte un intérêt fixe, comment peut-elle perdre de la valeur ? En calculant son prix comme une somme actualisée, j'ai vu qu'il dépend du taux du marché par une fonction décroissante.

L'enjeu et les notions du programme

Exprimer un prix comme somme de termes actualisés et étudier son sens de variation et sa convexité en fonction du taux.

Mathématiques

Sommes de termes, suites géométriques (première)
Dérivée, sens de variation, convexité (première, terminale)

Sciences économiques et sociales

Financement par le marché, obligations (première)
Politique monétaire et taux d'intérêt (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une obligation d'une valeur de 100 € rapporte un coupon de 3 € par an pendant 5 ans, puis rembourse les 100 €. Le lendemain de son émission, les taux du marché passent de 3 % à 4 %. Problématique : que devient son prix ?
2. Mathématiques : une somme actualisée
4 min
Le prix est la valeur actualisée des flux au taux du marché $r$ r : $P (r) = \frac{3}{1 + r} + \frac{3}{( 1 + r ) ^{2}} + \dots + \frac{3}{( 1 + r ) ^{5}} + \frac{100}{( 1 + r ) ^{5}}$ P(r)=3/(1+r)+3/((1+r)²)+…+3/((1+r)⁵)+100/((1+r)⁵).
$P (3 %) = 100$ P(3 %)=100 : quand le taux du marché égale le taux du coupon, l'obligation vaut sa valeur nominale. $P (4 %) \approx 95, 5$ P(4 %)≈95,5 et $P (2 %) \approx 104, 7$ P(2 %)≈104,7. Chaque terme est une fonction décroissante de $r$ r : le prix baisse quand le taux monte.
Raison économique : une nouvelle obligation rapporte désormais 4 % ; personne n'achèterait l'ancienne, à 3 %, au même prix. Son prix baisse jusqu'à ce que son rendement rejoigne celui du marché. La courbe est convexe (dérivée seconde positive) : une baisse de taux fait gagner plus (+4,7) qu'une hausse équivalente ne fait perdre (−4,5).
3. SES : politique monétaire et marchés
3 min
En SES, on étudie le lien entre politique monétaire et taux de marché. Quand la banque centrale relève ses taux directeurs, les taux du marché montent et les obligations existantes perdent de la valeur : c'est ce qui s'est produit en 2022, causant des pertes à de nombreux fonds et, aux États-Unis, la faillite de banques (comme la Silicon Valley Bank) qui détenaient beaucoup d'obligations.
Plus l'échéance est longue, plus le prix est sensible au taux : un remboursement lointain est fortement actualisé. Une obligation à 30 ans peut perdre près de 20 % de sa valeur pour une hausse d'un point.
4. Conclusion
2 min
Le prix d'une obligation est la somme actualisée de ses coupons et de son remboursement : il diminue quand le taux du marché augmente, d'autant plus que l'échéance est lointaine. C'est pourquoi la hausse des taux de 2022 a fait perdre de la valeur à des placements réputés sûrs. J'ouvre sur la notion de duration, qui mesure cette sensibilité.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P (r) = k = 1 \sum 5 \frac{3}{( 1 + r ) ^{k}} + \frac{100}{( 1 + r ) ^{5}} P(r)=Σ_k=1⁵3/((1+r)^(k))+100/((1+r)⁵) P (2 %) \approx 104, 7 P (3 %) = 100 P (4 %) \approx 95, 5 P(2 %)\approx104,7 P(3 %)=100 P(4 %)\approx95,5 P^{'} (r) < 0, P^{''} (r) > 0 P'(r)<0, P''(r)>0

Conclusion : la réponse à la question

Le prix d'une obligation est une fonction décroissante et convexe du taux du marché : quand les taux montent, les anciennes obligations, moins rémunératrices, perdent de la valeur. La sensibilité augmente avec l'échéance.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi P(3 %) = 100 exactement ?

Quand le taux d'actualisation égale le taux du coupon, la valeur actualisée des coupons et du remboursement redonne exactement la valeur nominale.

Qu'est-ce qu'une obligation ?

Un titre de dette : l'émetteur emprunte et s'engage à verser des intérêts (coupons) puis à rembourser à l'échéance.

Garder l'obligation jusqu'à l'échéance fait-il perdre de l'argent ?

Non : on touche les coupons et les 100 € prévus. La perte n'est réelle que si l'on vend avant, au prix du marché.

Pourquoi une échéance longue est-elle plus sensible ?

Le remboursement est divisé par $(1 + r)^{n}$ (1+r)ⁿ avec un grand $n$ n : une petite variation de $r$ r change beaucoup ce facteur.

Que signifie la convexité pour un investisseur ?

Pour une même variation de taux, le gain en cas de baisse dépasse la perte en cas de hausse.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le prix d'une obligation est fixe.
Penser que prix et taux évoluent dans le même sens.
Oublier le remboursement final dans le calcul.

Revoir les notions

Autres questions : finance et emprunt

Toutes les questions maths-ses →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →