Combien de fois une matière recyclée peut-elle être réutilisée ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On parle beaucoup d'économie circulaire, où les déchets redeviennent des ressources. Je me suis demandé combien de fois une même matière, comme l'aluminium ou le papier, peut servir. En suivant un kilogramme de cycle en cycle, j'ai retrouvé une série géométrique, qui montre l'importance décisive d'un taux de recyclage élevé.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser des réutilisations successives par une série géométrique et étudier la sensibilité de sa somme au taux de recyclage.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On produit 1 kg d'aluminium neuf. Après usage, une fraction $r$r est collectée et recyclée en un nouvel objet, et ainsi de suite. Problématique : au total, combien d'usages ce kilogramme permet-il ?

2. 2. Mathématiques : une série géométrique

   4 min

   Premier usage : 1 kg ; deuxième : $r$r kg ; troisième : $r^2$r² kg… Total : $1+r+r^2+\cdots +r^n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$1+r+r²+…+rⁿ=(1-rⁿ⁺¹)/(1-r), qui tend vers $\frac{1}{1-r}$1/(1-r) quand $n\to +\infty$n→+∞, puisque $0\le r<1$0≤ r<1.

   Avec $r=0,6$r=0,6 : $\frac{1}{0,4}=2,5$1/0,4=2,5 kg d'usages. Avec $r=0,9$r=0,9 : 10 kg. Avec $r=0,95$r=0,95 : 20 kg. La fonction $r\mapsto \frac{1}{1-r}$r↦1/(1-r) est croissante et convexe, avec une asymptote en $r=1$r=1 : passer de 90 % à 95 % double le nombre d'usages, alors que passer de 40 % à 45 % ne l'augmente que de 9 %.

   Inversement, pour satisfaire un besoin annuel constant, la part de matière neuve nécessaire vaut $1-r$1-r : 40 % avec $r=0,6$r=0,6, 10 % avec $r=0,9$r=0,9.

3. 3. SES : les limites de la circularité

   3 min

   L'aluminium et l'acier se recyclent presque indéfiniment, avec des taux de collecte élevés pour certains usages. Le plastique et le papier se dégradent à chaque cycle, ce qui limite le nombre de réutilisations. Et si la consommation augmente, le recyclage ne suffit pas : il faut toujours de la matière neuve.

   En SES, l'économie circulaire est présentée comme une réponse aux limites écologiques de la croissance, à côté de la sobriété (réduire les besoins) et de l'écoconception (produits durables et réparables). Le calcul montre que viser des taux de recyclage très élevés est particulièrement efficace.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une matière recyclée à un taux $r$r fournit $\frac{1}{1-r}$1/(1-r) fois sa masse en usages : la série géométrique converge, et sa somme explose quand le taux approche 100 %. Les derniers points de recyclage sont les plus précieux. J'ouvre sur la sobriété, sans laquelle une consommation croissante annule les gains du recyclage.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Additionner les taux au lieu de faire une série géométrique.
• Croire qu'un taux de 90 % donne 90 % d'économie de matière quel que soit le contexte.
• Ignorer la croissance de la consommation.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

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