Combien vaut une action, et pourquoi son prix peut-il s'emballer ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant la bulle internet des années 2000, des entreprises sans bénéfice valaient des milliards en Bourse, puis se sont effondrées. Je me suis demandé comment on calcule la « vraie » valeur d'une action. J'ai découvert le modèle de Gordon, qui somme une infinité de dividendes actualisés avec une série géométrique, et qui montre une extrême sensibilité aux anticipations.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la somme d'une série géométrique infinie et étudier la sensibilité d'un résultat à ses paramètres.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une action donne droit à des dividendes futurs. Problématique : comment évaluer ce droit, et pourquoi les prix boursiers peuvent-ils s'éloigner fortement de cette valeur ?

2. 2. Mathématiques : une série géométrique infinie

   4 min

   Supposons un dividende $D$D l'an prochain, croissant de $g$g par an, et un taux d'actualisation $r>g$r>g (rendement exigé). La valeur fondamentale est $V=\frac{D}{1+r}+\frac{D(1+g)}{(1+r{)}^2}+\frac{D(1+g{)}^2}{(1+r{)}^3}+\dots$V=D/(1+r)+(D(1+g))/((1+r)²)+(D(1+g)²)/((1+r)³)+…

   C'est une série géométrique de premier terme $\frac{D}{1+r}$D/(1+r) et de raison $q=\frac{1+g}{1+r}<1$q=(1+g)/(1+r)<1. Sa somme vaut $\frac{D/(1+r)}{1-q}=\frac{D/(1+r)}{(r-g)/(1+r)}=\frac{D}{r-g}$(D/(1+r))/(1-q)=(D/(1+r))/((r-g)/(1+r))=D/(r-g) (formule de Gordon).

   Avec $D=5$D=5, $r=7$r=7 % et $g=2$g=2 % : $V=\frac{5}{0,05}=100$V=5/0,05=100. Si les investisseurs anticipent $g=4$g=4 % : $V\approx 167$V≈167 ; $g=5$g=5 % : $250$250 ; $g=6$g=6 % : $500$500. La fonction $g\mapsto \frac{D}{r-g}$gmapstoD/(r-g) a une asymptote verticale en $g=r$g=r : quand la croissance anticipée s'approche du rendement exigé, la valeur explose.

3. 3. SES : bulles et krachs

   3 min

   Cette sensibilité explique la volatilité des marchés : un léger excès d'optimisme sur la croissance future fait doubler le prix « justifié ». Dans une bulle, les acheteurs anticipent surtout la hausse du prix lui-même (spéculation), ce qui éloigne le prix de toute valeur fondamentale.

   Quand les anticipations se retournent (résultats décevants, hausse des taux qui augmente $r$r), le prix chute brutalement : c'est le krach. En SES, on étudie les mécanismes de contagion et les comportements mimétiques qui amplifient ces mouvements.

4. 4. Conclusion

   2 min

   La valeur d'une action est la somme actualisée des dividendes futurs, $\frac{D}{r-g}$D/(r-g), obtenue par une série géométrique. Sa très forte sensibilité à la croissance anticipée explique que les prix puissent s'emballer, puis s'effondrer. J'ouvre sur l'effet des hausses de taux des banques centrales sur les marchés boursiers.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Appliquer la formule avec g ≥ r.
• Oublier l'actualisation du premier dividende.
• Confondre valeur fondamentale et prix de marché.

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →
• Limites de fonctions (Terminale spé maths) →

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