Question transversaleMathsSIAsservissement et régulation

Comment un correcteur peut-il annuler complètement l'écart entre la consigne et la sortie ?

Un correcteur intégral calcule une commande proportionnelle au cumul des écarts, u(t) = Kᵢ ∫ ε. Si la sortie se stabilise, la commande se stabilise aussi, donc sa dérivée Kᵢ ε est nulle : l'écart est forcément nul. C'est l'intégrale qui supprime l'erreur statique laissée par le correcteur proportionnel.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Après avoir constaté qu'un correcteur proportionnel laisse toujours une petite erreur, j'ai découvert en sciences de l'ingénieur le correcteur « PI ». Le nom m'a interpellé : il fait intervenir une intégrale, une notion que je voyais en mathématiques pour calculer des aires. Je voulais comprendre pourquoi une aire permettait d'annuler une erreur.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le lien entre primitive et dérivée pour démontrer qu'un correcteur intégral annule l'écart en régime permanent.

Mathématiques

Intégrale et primitive, (∫ f)' = f (terminale)
Aire algébrique sous une courbe (terminale)
Suites et sommes cumulées (première)

Sciences de l'ingénieur

Correcteurs P, PI (terminale)
Précision d'un système asservi (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un correcteur proportionnel commande en fonction de l'écart actuel : il a besoin d'un écart pour agir. Problématique : peut-on concevoir un correcteur qui continue d'agir même quand l'écart devient nul ?
2. Mathématiques : intégrer l'écart
4 min
Le correcteur intégral calcule $u (t) = K_{i} \int_{0}^{t} ε (x) d x$ u(t)=Kᵢ∫₀^(t)ε(x) dx : l'aire algébrique sous la courbe de l'écart, depuis le début. Tant que l'écart est positif, cette aire augmente, donc la commande augmente.
Par le théorème fondamental de l'analyse, $u^{'} (t) = K_{i} ε (t)$ u'(t)=Kᵢε(t). En régime permanent, toutes les grandeurs se stabilisent, en particulier $u$ u : sa dérivée tend vers 0. Donc $K_{i} ε \to 0$ Kᵢε→0 et l'écart tend vers 0. C'est un raisonnement par l'absurde : si l'écart restait égal à $ε_{0} \neq = 0$ ε₀≠0, la commande croîtrait comme $K_{i} ε_{0} t$ Kᵢε₀t, sans limite, et rien ne serait stabilisé.
Version numérique : à chaque période d'échantillonnage $h$ h, on ajoute $K_{i} h ε_{n}$ Kᵢhεₙ à la commande : $u_{n + 1} = u_{n} + K_{i} h ε_{n}$ uₙ₊₁=uₙ+Kᵢhεₙ. C'est une somme cumulée, approximation de l'intégrale par des rectangles. La suite $(u_{n})$ (uₙ) ne peut converger que si $ε_{n}$ εₙ tend vers 0.
3. SI : le correcteur PI en pratique
3 min
On combine : $u = K_{p} ε + K_{i} \int ε$ u=Kₚε+Kᵢ∫ε. L'action proportionnelle réagit vite, l'action intégrale élimine l'écart restant. On l'utilise pour les régulateurs de vitesse, les fours, les drones.
Défaut : l'intégrale « se souvient » du passé et peut provoquer un dépassement de la consigne. Si l'actionneur sature, l'intégrale continue d'augmenter inutilement (emballement) : on la limite dans le programme. Le réglage de $K_{p}$ Kₚ et $K_{i}$ Kᵢ se fait par essais ou par des méthodes empiriques, en cherchant un compromis entre rapidité et dépassement.
4. Conclusion
1,5 min
Le correcteur intégral annule l'écart parce que la dérivée de sa commande est proportionnelle à l'écart : une commande stabilisée impose un écart nul. La relation entre intégrale et dérivée, vue en terminale, est au cœur de la précision des asservissements. J'ouvre sur le correcteur PID, qui ajoute une action dérivée pour anticiper.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u (t) = K_{i} \int_{0}^{t} ε (x) d x \Rightarrow u^{'} (t) = K_{i} ε (t) u(t)=Kᵢ\int₀^(t)ε(x) dx \Rightarrow u'(t)=Kᵢ ε(t) u stabilis \overset{e}{ˊ} e \Rightarrow u^{'} \to 0 \Rightarrow ε \to 0 num \overset{e}{ˊ} rique : u_{n + 1} = u_{n} + K_{i} h ε_{n} u stabilisée \Rightarrow u'\to0\Rightarrowε\to0 numérique : uₙ₊₁=uₙ+Kᵢh εₙ

Conclusion : la réponse à la question

Intégrer l'écart, c'est accumuler la mémoire des erreurs passées : la commande ne cesse d'évoluer que lorsque l'écart s'annule. La dérivée d'une intégrale explique pourquoi l'erreur statique disparaît.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut la dérivée de x ↦ ∫₀ˣ f(t) dt ?

f(x), si f est continue.

Pourquoi la somme cumulée approche-t-elle l'intégrale ?

C'est une somme d'aires de rectangles de largeur h : la méthode des rectangles.

Que se passe-t-il si l'actionneur sature ?

L'intégrale continue d'augmenter et provoque un fort dépassement quand l'écart change de signe : on limite l'intégrale.

Pourquoi combiner P et I ?

L'action proportionnelle réagit immédiatement, l'action intégrale corrige lentement l'écart restant.

Une aire peut-elle être négative ?

Oui, une aire algébrique : quand l'écart est négatif, la commande diminue.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'intégrale agit vite : elle est lente au départ.
Oublier l'emballement de l'intégrale en cas de saturation.
Confondre aire géométrique et aire algébrique.

Revoir les notions

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