Comment un simple thermostat maintient-il une pièce autour de 20 °C en ne faisant qu'allumer et éteindre le chauffage ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Chez moi, j'entends la chaudière s'allumer et s'éteindre régulièrement, et pourtant la température reste agréable. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié la régulation « tout ou rien » et son hystérésis. J'ai voulu calculer la durée des cycles à partir d'un modèle de la pièce, et j'ai retrouvé les équations différentielles et le logarithme de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser l'évolution de la température par une équation différentielle du premier ordre et calculer des durées de cycle avec le logarithme.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un thermostat compare la température à une consigne et commande le chauffage en tout ou rien. Pour éviter qu'il commute sans arrêt, il utilise deux seuils : il allume sous 19 °C et éteint au-dessus de 21 °C. Problématique : quelle est la durée des cycles et quelle part du temps le chauffage fonctionne-t-il ?

2. 2. Mathématiques : deux exponentielles

   4 min

   Modèle : $T^{\prime }=-\frac{1}{\tau }(T-T_{\infty })$T'=-frac1τ(T-T_∞), où $T_{\infty }$T_∞ est la température vers laquelle la pièce tend. Solution : $T(t)=T_{\infty }+(T_0-T_{\infty })e^{-t/\tau }$T(t)=T_∞+(T₀-T_∞)e^(-t/τ). On prend $\tau =2$τ=2 h.

   Chauffage éteint : $T_{\infty }=5$T_∞=5 °C (extérieur). Le temps pour descendre de 21 à 19 °C vérifie $14=16e^{-t/\tau }$14=16e^(-t/τ), donc $t=\tau \ln \frac{16}{14}\approx 0,267$t=τln16/14≈0,267 h, soit 16 min.

   Chauffage allumé : $T_{\infty }=45$T_∞=45 °C (température qu'atteindrait la pièce si le chauffage ne s'arrêtait jamais). Monter de 19 à 21 °C : $24=26e^{-t/\tau }$24=26e^(-t/τ), donc $t=\tau \ln \frac{26}{24}\approx 0,160$t=τln26/24≈0,160 h, soit 9,6 min.

   Taux de fonctionnement : $\frac{9,6}{9,6+16}\approx 37,5\%$9,6/(9,6+16)≈37,5 %. Vérification : la puissance moyenne fait tendre la pièce vers $5+0,375\times (45-5)=20$5+0,375×(45-5)=20 °C, la consigne.

3. 3. SI : le choix de l'hystérésis

   3 min

   Sans hystérésis (un seul seuil à 20 °C), le chauffage commuterait des dizaines de fois par minute au moindre bruit du capteur, usant le relais et la chaudière. L'écart de 2 °C fixe la durée des cycles : un écart deux fois plus petit diviserait les durées environ par deux (car $\ln (1+x)\approx x$ln(1+x)≈ x) et doublerait le nombre de commutations.

   Le compromis est entre confort (petites oscillations) et durée de vie du matériel (peu de commutations). Les thermostats modernes remplacent souvent le tout ou rien par une commande proportionnelle de la puissance, qui supprime les oscillations.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Le thermostat maintient la pièce autour de 20 °C en alternant deux exponentielles : 9,6 min de chauffe, 16 min de refroidissement. Le taux de fonctionnement, 37,5 %, est exactement celui qui donne 20 °C en moyenne. J'ouvre sur la régulation proportionnelle, qui ajuste la puissance au lieu de la couper.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Utiliser la consigne au lieu de la température limite dans l'exponentielle.
• Oublier l'hystérésis et conclure à une infinité de commutations.
• Confondre durée de chauffe et durée du cycle.

Revoir les notions

• Primitives et équations différentielles (Terminale spé maths) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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