Comment caractériser la rapidité d'un système qui réagit progressivement à une commande ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En travaux pratiques de sciences de l'ingénieur, nous avons enregistré la vitesse d'un moteur à la mise sous tension : elle monte vite, puis de plus en plus lentement. Le professeur nous a demandé de mesurer le « temps de réponse à 5 % ». J'ai voulu comprendre d'où vient le facteur 3 qu'on utilise, et j'ai découvert qu'il s'agit de ln 20.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une équation différentielle du premier ordre et en déduire, par le logarithme et la tangente, les grandeurs qui caractérisent la rapidité.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   De nombreux systèmes (moteur, four, circuit électrique) répondent à une commande brusque par une évolution progressive. Problématique : comment mesurer leur rapidité par un seul nombre, et comment le lire sur une courbe ?

2. 2. Mathématiques : solution et lectures

   4 min

   Un système du premier ordre vérifie $\tau s^{\prime }(t)+s(t)=Ke(t)$τ s'(t)+s(t)=K e(t). Pour un échelon $e(t)=E$e(t)=E et $s(0)=0$s(0)=0, la solution est $s(t)=KE\left(1-e^{-t/\tau }\right)$s(t)=KE(1-e^(-t/τ)). Elle tend vers $KE$KE : $K$K est le gain statique.

   À $t=\tau$t=τ : $s=KE(1-e^{-1})\approx 0,63KE$s=KE(1-e⁻¹)≈0,63 KE. Temps de réponse à 5 % : $s=0,95KE$s=0,95 KE quand $e^{-t/\tau }=0,05$e^(-t/τ)=0,05, soit $t=\tau \ln 20\approx 3\tau$t=τln20≈3τ. À 1 % : $\tau \ln 100\approx 4,6\tau$τln100≈4,6τ.

   Tangente à l'origine : $s^{\prime }(0)=\frac{KE}{\tau }$s'(0)=fracKEτ, donc la tangente a pour équation $y=\frac{KE}{\tau }t$y=fracKEτ t. Elle atteint l'asymptote $y=KE$y=KE en $t=\tau$t=τ. On lit ainsi $\tau$τ sur une courbe expérimentale, de deux façons : à 63 % ou avec la tangente.

3. 3. SI : utiliser ces résultats

   3 min

   Pour un moteur, $\tau$τ dépend de l'inertie et des caractéristiques électriques : un moteur de constante de temps 0,2 s atteint sa vitesse à 5 % près en 0,6 s. Le cahier des charges impose souvent un temps de réponse maximal ; on vérifie qu'il est respecté avec $3\tau$3τ.

   La mesure de $\tau$τ sur un essai permet d'identifier le modèle du système, puis de prévoir son comportement pour d'autres commandes. Attention : la « tangente à l'origine » est sensible au bruit de mesure, la lecture à 63 % est souvent plus fiable.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un seul nombre, $\tau$τ, caractérise la rapidité d'un système du premier ordre : 63 % en $\tau$τ, 95 % en $\tau \ln 20\approx 3\tau$τln20≈3τ, et la tangente à l'origine coupe l'asymptote en $\tau$τ. J'ouvre sur l'asservissement, qui permet de rendre un système plus rapide que son $\tau$τ naturel.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre τ et le temps de réponse à 5 %.
• Lire 63 % de la valeur de commande au lieu de la valeur finale.
• Oublier le gain statique K.

Revoir les notions

• Primitives et équations différentielles (Terminale spé maths) →
• Dérivation locale (Première spé maths) →

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