Question transversaleMathsSIAsservissement et régulation

Comment le régulateur de vitesse d'une voiture garde-t-il presque la même vitesse dans une côte ?

Q: Pourquoi la constante de temps diminue-t-elle avec le régulateur ?

Le coefficient de $v$ passe de $k$ à $k+Kₚ$ : $τ'=m/(k+Kₚ)$.

Modèle : m v' = F − k v, avec τ = m/k = 30 s. Une côte de 3 % ajoute une force de 353 N : sans régulation, la vitesse finale chute de 8,8 m/s. Avec un régulateur proportionnel de gain 360 N par m/s, la chute n'est plus que de 0,88 m/s, dix fois moins.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'un long trajet en voiture, mes parents utilisent le régulateur de vitesse. J'ai remarqué que dans une montée, la voiture ralentissait à peine, alors qu'en levant le pied on perdrait beaucoup de vitesse. En sciences de l'ingénieur, nous avons modélisé ce système par une équation différentielle, et j'ai voulu calculer l'effet d'une côte avec et sans régulation.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un véhicule par une équation différentielle du premier ordre et quantifier le rejet d'une perturbation par une boucle fermée.

Mathématiques

Équations différentielles y' = ay + b, solution et limite (terminale)
Fonction exponentielle (terminale)
Trigonométrie : pente et sinus (première)

Sciences de l'ingénieur

Asservissement : rejet de perturbation (terminale)
Principe fondamental de la dynamique appliqué à un véhicule (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une voiture roule à 30 m/s (108 km/h). Le régulateur de vitesse ajuste la force motrice pour maintenir cette consigne. Problématique : comment réagit-il à une perturbation, comme une côte, et que se passerait-il sans lui ?
2. Mathématiques : un modèle du premier ordre
4 min
Modèle simplifié : $m v^{'} = F - k v - F_{p}$ mv'=F-kv-Fₚ, avec $m = 1200$ m=1 200 kg, une résistance à l'avancement $k v$ kv avec $k = 40$ k=40 N·s/m, et une force de pente $F_{p}$ Fₚ. Sans perturbation, $v^{'} = - \frac{k}{m} v + \frac{F}{m}$ v'=-k/m v+F/m : constante de temps $τ = \frac{m}{k} = 30$ τ=m/k=30 s, vitesse limite $\frac{F}{k}$ F/k.
Côte de 3 % : $F_{p} = m g sin α \approx 1200 \times 9, 81 \times 0, 03 \approx 353$ Fₚ=mgsinα≈1 200×9,81×0,03≈353 N. Sans régulation (force constante), la vitesse limite baisse de $\frac{F _{p}}{k} \approx 8, 8$ Fₚ/k≈8,8 m/s : on passe de 30 à 21 m/s, en environ $3 τ = 90$ 3τ=90 s.
Avec un régulateur proportionnel $F = F_{0} + K_{p} (v_{c} - v)$ F=F₀+Kₚ(v_c-v), $K_{p} = 360$ Kₚ=360 N par m/s : l'équation devient $m v^{'} = F_{0} + K_{p} v_{c} - (k + K_{p}) v - F_{p}$ mv'=F₀+Kₚv_c-(k+Kₚ)v-Fₚ. La chute de vitesse finale devient $\frac{F _{p}}{k + K _{p}} \approx 0, 88$ Fₚ/(k+Kₚ)≈0,88 m/s, dix fois moins, et la constante de temps $\frac{m}{k + K _{p}} = 3$ m/(k+Kₚ)=3 s : la correction est dix fois plus rapide.
3. SI : ce que fait le vrai régulateur
3 min
Le calculateur mesure la vitesse par les capteurs des roues, compare à la consigne et commande l'injection. Il est en général proportionnel et intégral : l'action intégrale supprime l'écart résiduel de 0,88 m/s en augmentant progressivement la force tant que l'écart persiste.
Limites : la force motrice est bornée ; dans une côte très raide, le moteur sature et la vitesse baisse quand même. En descente, il faudrait freiner : certains régulateurs agissent aussi sur les freins. Le modèle linéaire $k v$ kv est une approximation : la résistance de l'air croît en réalité comme $v^{2}$ v².
4. Conclusion
1,5 min
Le régulateur de vitesse divise par $\frac{k + K _{p}}{k} = 10$ (k+Kₚ)/k=10 l'effet de la côte et la durée du ralentissement. Une équation différentielle du premier ordre suffit à le quantifier. J'ouvre sur les régulateurs adaptatifs, qui utilisent aussi un radar pour garder la distance avec le véhicule devant.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

m v^{'} = F - k v - F_{p} τ = \frac{m}{k} = 30 s F_{p} = m g sin α \approx 353 N mv'=F-kv-Fₚ τ=m/k=30 s Fₚ=mgsinα\approx353 N sans r \overset{e}{ˊ} gulation : Δ v = \frac{F _{p}}{k} \approx 8, 8 m/s avec : Δ v = \frac{F _{p}}{k + K _{p}} \approx 0, 88 m/s, τ^{'} = 3 s sans régulation : Δ v=Fₚ/k\approx8,8 m/s avec : Δ v=Fₚ/(k+Kₚ)\approx0,88 m/s , τ'=3 s

Conclusion : la réponse à la question

La boucle fermée réduit l'effet d'une perturbation du rapport $\frac{k}{k + K _{p}}$ k/(k+Kₚ) et accélère la correction dans le même rapport. Un modèle simple, une équation différentielle et une limite suffisent à le montrer.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que signifie une pente de 3 % ?

On monte de 3 m pour 100 m parcourus horizontalement ; pour un petit angle, $sin α \approx tan α = 0, 03$ sinα≈tanα=0,03.

Combien de temps pour atteindre la nouvelle vitesse sans régulation ?

Environ 3τ = 90 s à 5 % près.

Pourquoi la constante de temps diminue-t-elle avec le régulateur ?

Le coefficient de $v$ v passe de $k$ k à $k + K_{p}$ k+Kₚ : $τ^{'} = \frac{m}{k + K _{p}}$ τ'=m/(k+Kₚ).

Comment supprimer l'écart de 0,88 m/s ?

Avec une action intégrale, qui augmente la force tant qu'il reste un écart.

Le modèle kv est-il réaliste ?

C'est une approximation autour de la vitesse de croisière ; la traînée réelle croît comme v².

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la perturbation dans l'équation.
Confondre pourcentage de pente et angle en degrés.
Croire que le régulateur proportionnel annule tout écart.

Revoir les notions

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