Pourquoi un asservissement proportionnel n'atteint-il jamais exactement sa consigne ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons réglé l'asservissement en position d'un petit bras motorisé. En augmentant le gain du correcteur, le bras se rapprochait de la position demandée, mais il restait toujours un petit écart. J'ai voulu comprendre pourquoi cet écart ne disparaît jamais, et un calcul de limite très simple m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Établir l'équation d'une boucle fermée, calculer la valeur limite de la sortie et étudier l'erreur en fonction du gain.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un asservissement, on mesure la sortie $s$s, on la compare à la consigne $c$c, et l'écart $\epsilon =c-s$ε=c-s commande le système. Avec un correcteur proportionnel, la commande vaut $K\epsilon$Kε. Problématique : la sortie finit-elle par égaler la consigne ?

2. 2. Mathématiques : la valeur finale

   4 min

   Le système, de gain statique $G$G, donne en régime permanent $s=G\times K\epsilon$s=G× Kε. Comme $\epsilon =c-s$ε=c-s : $s=KG(c-s)$s=KG(c-s), donc $s(1+KG)=KGc$s(1+KG)=KGc et $s=\frac{KG}{1+KG}c$s=KG/(1+KG)c.

   Erreur statique : $\epsilon =c-s=\frac{c}{1+KG}$ε=c-s=c/(1+KG). En proportion de la consigne : $\frac{1}{1+KG}$1/(1+KG). Pour $KG=1$KG=1 : 50 %. Pour $KG=9$KG=9 : 10 %. Pour $KG=99$KG=99 : 1 %.

   La fonction $x\mapsto \frac{1}{1+x}$x↦1/(1+x) est décroissante et tend vers 0 en $+\infty$+∞, mais ne s'annule jamais. L'explication physique : pour que le système produise une sortie non nulle, il faut une commande non nulle, donc un écart non nul.

   Avec un système du premier ordre, l'équation complète $\tau s^{\prime }+s=KG(c-s)$τ s'+s=KG(c-s) se réécrit $\frac{\tau }{1+KG}{s}^{\prime }+s=\frac{KG}{1+KG}c$τ/(1+KG)s'+s=KG/(1+KG)c : la constante de temps est divisée par $1+KG$1+KG. La boucle fermée rend le système plus rapide.

3. 3. SI : les limites du gain

   3 min

   Augmenter $K$K améliore la précision et la rapidité, mais la commande au démarrage, $Kc$Kc, devient énorme : le moteur sature (il ne peut pas fournir plus que sa tension maximale). Sur les systèmes réels, qui ont des retards ou de l'inertie, un gain trop élevé provoque des oscillations, voire l'instabilité.

   Pour supprimer l'erreur statique sans gain infini, on ajoute une action intégrale : la commande dépend du cumul des écarts passés, et ne se stabilise que lorsque l'écart est nul. Le réglage d'un correcteur est un compromis entre précision, rapidité et stabilité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un correcteur proportionnel laisse une erreur statique $\frac{1}{1+KG}$1/(1+KG) : elle diminue avec le gain mais ne s'annule jamais, car il faut un écart pour produire une commande. J'ouvre sur le correcteur intégral, qui annule cette erreur, et sur les risques d'instabilité des gains élevés.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'un gain élevé annule l'erreur.
• Oublier la saturation des actionneurs réels.
• Confondre consigne et commande.

Revoir les notions

• Calcul littéral et équations (Seconde) →
• Limites de fonctions (Terminale spé maths) →

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