Pourquoi certains architectes donnent-ils à leurs arches la forme d'une chaîne suspendue retournée ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En voyage à Barcelone, j'ai découvert que Gaudí concevait ses arches en suspendant des chaînettes lestées et en photographiant leur reflet à l'envers. Cette méthode m'a paru magique. En sciences de l'ingénieur, j'ai compris le principe : une chaîne suspendue ne subit que de la traction. En mathématiques, j'ai retrouvé sa courbe, construite avec la fonction exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction construite avec l'exponentielle, ses propriétés (parité, dérivée, minimum) et l'interpréter comme la forme optimale d'une arche.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une chaîne suspendue à ses deux extrémités prend une forme bien précise. Chaque maillon est seulement tiré par ses voisins : il n'y a aucune flexion. Problématique : quelle est cette courbe, et pourquoi en faire une arche ?

2. 2. Mathématiques : la fonction cosinus hyperbolique

   4,5 min

   On admet (par un équilibre des forces sur chaque petit morceau de chaîne) que sa forme est la chaînette $y=a\text{ch}\left(\frac{x}{a}\right)$y=a ch (x/a), avec $\text{ch}(u)=\frac{e^u+e^{-u}}{2}$ch (u)=(e^(u)+e^(-u))/2, où $a$a dépend de la tension et du poids de la chaîne.

   Propriétés : $\text{ch}(-u)=\text{ch}(u)$ch (-u)= ch (u), la courbe est symétrique. Sa dérivée $\frac{e^u-e^{-u}}{2}$(e^(u)-e^(-u))/2 est négative pour $u<0$u<0, positive pour $u>0$u>0 : minimum en 0, où $\text{ch}(0)=1$ch (0)=1. La fonction croît ensuite très vite, comme une exponentielle.

   Avec $a=10$a=10 m : au centre, $y=10$y=10 ; à 10 m du centre, $y=10\times \frac{e+e^{-1}}{2}\approx 15,43$y=10×(e+e⁻¹)/2≈15,43. La flèche sur une demi-portée de 10 m vaut donc environ 5,43 m.

   Comparaison avec une parabole : près de 0, $\text{ch}(u)\approx 1+\frac{u^2}{2}$ch (u)≈1+u²/2 (développement des exponentielles), donc la chaînette ressemble à la parabole $y=a+\frac{x^2}{2a}$y=a+x²/2a. Mais elle s'en écarte loin du centre : pour $x=10$x=10, la parabole donne 15, la chaînette 15,43. Galilée pensait à tort qu'une chaîne pendait en parabole.

3. 3. SI : de la traction à la compression

   2,5 min

   Dans la chaîne, chaque maillon est tiré le long de la courbe. Si l'on retourne la forme, toutes les forces changent de sens : une arche de cette forme, sous son propre poids, n'est soumise qu'à de la compression le long de la courbe, sans flexion. Or la pierre et le béton résistent très bien à la compression et mal à la flexion.

   Robert Hooke l'avait énoncé en 1675 : « comme pend le fil souple, ainsi, renversée, se tiendra l'arche rigide ». La maquette de Gaudí, avec des chaînettes lestées, calculait cette forme avant les ordinateurs. L'arche de Saint-Louis, aux États-Unis, est une chaînette renversée de 192 m.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une chaîne suspendue prend la forme de la chaînette $a\text{ch}\left(\frac{x}{a}\right)$a ch (x/a), où elle ne subit que de la traction ; retournée, elle donne l'arche qui ne travaille qu'en compression. La fonction exponentielle décrit cette forme optimale. J'ouvre sur les coques minces en béton, conçues selon le même principe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre chaînette et parabole.
• Oublier que l'arche n'est optimale que sous son propre poids.
• Confondre traction et compression.

Revoir les notions

• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →
• Fonctions : généralités (Seconde) →

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