Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

Pourquoi ne peut-on pas construire une maquette géante en multipliant simplement toutes ses dimensions ?

Q: Pourquoi la contrainte est-elle multipliée par k ?

Le poids est multiplié par $k³$, la section par $k²$ : le rapport par $k$.

Q: Comment garder la même contrainte en agrandissant ?

En multipliant les épaisseurs par $k^(3/2)$ au lieu de $k$.

Quand on multiplie toutes les dimensions par k, les surfaces sont multipliées par k² et les volumes, donc les masses, par k³. La contrainte, poids divisé par section, est multipliée par k : une structure 10 fois plus grande subit des contraintes 10 fois plus fortes. C'est pourquoi les grands animaux ont des pattes épaisses et les grandes structures des formes différentes.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pour un projet de sciences de l'ingénieur, nous avons construit une maquette de pont en bois qui supportait très bien les charges. Un camarade a proposé de « la construire en grand » pour un pont réel. Le professeur nous a expliqué que ce serait impossible, et nous a parlé de Galilée, qui avait compris dès 1638 pourquoi un géant ne pourrait pas avoir les proportions d'un homme.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier l'effet d'un agrandissement sur les longueurs, aires et volumes, et en déduire l'évolution d'un rapport.

Mathématiques

Agrandissement et réduction : effet sur les aires et les volumes (collège, seconde)
Fonctions puissances, rapports (seconde, première)
Proportionnalité (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Résistance des matériaux : contrainte, dimensionnement (terminale)
Maquettes et similitude (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une maquette de pont tient parfaitement. On voudrait construire le vrai pont en multipliant toutes les dimensions par 10, avec le même matériau. Problématique : le pont réel résistera-t-il ?
2. Mathématiques : un rapport qui grandit
4 min
Dans un agrandissement de rapport $k$ k, les longueurs sont multipliées par $k$ k, les aires par $k^{2}$ k² et les volumes par $k^{3}$ k³. La masse, proportionnelle au volume, est donc multipliée par $k^{3}$ k³.
La résistance d'une poutre dépend de l'aire de sa section : la force qu'elle supporte est multipliée par $k^{2}$ k². La contrainte due au poids propre, $σ = \frac{poids}{section}$ σ=poids/section, est multipliée par $\frac{k ^{3}}{k ^{2}} = k$ k³/k²=k.
Pour $k = 10$ k=10 : la contrainte est 10 fois plus grande. Si la maquette utilisait 5 % de la résistance du bois, le pont réel en utiliserait 50 % sous son seul poids, avant toute charge. Pour $k = 20$ k=20, il dépasserait la résistance et s'effondrerait.
Pour garder la même contrainte, il faudrait multiplier la section par $k^{3}$ k³ au lieu de $k^{2}$ k², donc l'épaisseur par $k^{3/2}$ k^(3/2) au lieu de $k$ k : la structure devient de plus en plus trapue.
3. SI : concevoir à grande échelle
3 min
Les maquettes servent à étudier les formes, mais les essais de résistance doivent tenir compte de cet effet d'échelle. Les grandes structures changent donc de principe : les ponts de grande portée deviennent suspendus ou haubanés, les grands bâtiments utilisent des matériaux plus résistants (acier, béton précontraint) et des formes évidées.
La nature applique la même loi : les pattes d'un éléphant sont proportionnellement bien plus épaisses que celles d'une gazelle, et une fourmi agrandie à la taille d'un chien s'écraserait sous son poids. À l'inverse, les petits objets sont proportionnellement très résistants.
4. Conclusion
1,5 min
Agrandir $k$ k fois multiplie les masses par $k^{3}$ k³ mais les sections par $k^{2}$ k² : la contrainte croît comme $k$ k. Un pont dix fois plus grand subit des contraintes dix fois plus fortes. La loi du cube et du carré impose de repenser la forme quand on change d'échelle. J'ouvre sur les limites de taille des arbres, des animaux et des gratte-ciel.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

longueurs \times k aires \times k^{2} volumes, masses \times k^{3} longueurs \times k aires \times k² volumes, masses \times k³ σ = \frac{poids}{section} \times \frac{k ^{3}}{k ^{2}} = k k = 10 : 5 % \to 50 % de la r \overset{e}{ˊ} sistance σ=poids/section timesk³/k²=k k=10: 5 %\to50 % de la résistance

Conclusion : la réponse à la question

Les grandeurs ne changent pas toutes au même rythme quand on agrandit : la masse l'emporte sur la résistance. Ce simple calcul de puissances, connu depuis Galilée, guide la conception des grandes structures.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Par combien est multiplié le volume si les longueurs sont doublées ?

Par $2^{3} = 8$ 2³=8.

Pourquoi la contrainte est-elle multipliée par k ?

Le poids est multiplié par $k^{3}$ k³, la section par $k^{2}$ k² : le rapport par $k$ k.

Comment garder la même contrainte en agrandissant ?

En multipliant les épaisseurs par $k^{3/2}$ k^(3/2) au lieu de $k$ k.

Pourquoi une fourmi peut-elle porter plusieurs fois son poids ?

Elle est petite : sa force (∝ section) est grande devant son poids (∝ volume).

Une maquette est-elle inutile alors ?

Non : elle sert à étudier les formes et les écoulements, mais pas directement la résistance au poids propre.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que tout est multiplié par k.
Confondre aire et volume dans l'effet d'échelle.
Conclure qu'une maquette solide garantit un ouvrage solide.

Revoir les notions

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