Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

Si dix pièces sont fabriquées chacune à 0,1 mm près, à quelle précision s'assemblent-elles ?

Q: Quel écart type pour 25 pièces à 0,1 mm ?

$√(25)×0,1=0,5$ mm, contre 2,5 mm au pire cas.

Q: Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

$P(|X-E(X)|≥ a)leqV(X)/a²$.

Dans le pire cas, les écarts de dix pièces s'ajoutent : ± 1 mm. Mais si les écarts sont indépendants, d'écart type 0,1 mm chacun, les variances s'additionnent : l'écart type de la somme vaut √10 × 0,1 ≈ 0,32 mm. Le calcul statistique autorise des tolérances plus larges, donc des pièces moins chères, au prix d'un petit risque.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons assemblé un mécanisme de plusieurs pièces imprimées en 3D, chacune à peu près à la bonne dimension. L'ensemble était parfois trop long pour entrer dans son logement. J'ai découvert la « cotation » et le cumul des tolérances. J'ai été surpris d'apprendre que l'on peut faire un calcul plus optimiste que la simple addition, grâce à la variance.

L'enjeu et les notions du programme

Comparer un calcul de pire cas et un calcul statistique fondé sur l'additivité des variances pour des écarts indépendants.

Mathématiques

Somme de variables aléatoires indépendantes, variance, écart type (terminale)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (terminale)
Racine carrée (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Cotation fonctionnelle, chaîne de cotes, tolérances (première, terminale)
Coût de fabrication et précision (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Dix pièces de 20 mm sont empilées dans un logement. Chacune est fabriquée avec un écart à la cote nominale d'au plus 0,1 mm. Problématique : quel jeu prévoir pour que l'assemblage rentre toujours, ou presque toujours ?
2. Mathématiques : pire cas ou variance
4,5 min
Pire cas : si toutes les pièces sont trop longues de 0,1 mm, la longueur totale dépasse de $10 \times 0, 1 = 1$ 10×0,1=1 mm. Il faut prévoir 1 mm de jeu. Ce cas est extrêmement rare : il demande que les dix écarts soient tous maximaux et de même signe.
Approche statistique : on modélise l'écart de chaque pièce par une variable aléatoire $X_{i}$ Xᵢ d'espérance nulle et d'écart type $σ = 0, 1$ σ=0,1 mm, les pièces étant indépendantes. L'écart total $S = X_{1} + \dots + X_{10}$ S=X₁+…+X₁₀ a une espérance nulle et une variance $10 σ^{2}$ 10σ² (les variances s'additionnent). Son écart type vaut $10 \times 0, 1 \approx 0, 32$ √(10)×0,1≈0,32 mm.
L'écart total typique n'est donc que de 0,32 mm, trois fois moins que le pire cas. Par Bienaymé-Tchebychev, $P (∣ S ∣ \geq 1) \leq \frac{10 \times 0 , 01}{1} = 0, 1$ P(|S|≥1)≤10×0,01/1=0,1, une borne prudente ; en réalité, pour des écarts en cloche, la probabilité d'atteindre 1 mm est inférieure à 0,2 %.
Plus il y a de pièces, plus l'écart est grand par rapport au pire cas : $nσ$ nσ contre $n σ$ √n σ. Pour 100 pièces : 10 mm contre 1 mm.
3. SI : choisir les tolérances
2,5 min
Une tolérance serrée coûte cher (machines plus précises, contrôles, rebuts). Le calcul statistique permet de desserrer les tolérances de chaque pièce tout en garantissant l'assemblage dans la très grande majorité des cas, ce qui réduit fortement les coûts dans l'automobile ou l'aéronautique.
Il suppose des écarts indépendants et centrés : si une machine mal réglée produit toutes les pièces trop longues, les écarts s'ajoutent comme dans le pire cas. On garde donc le calcul au pire cas pour les assemblages critiques ou de petites séries, et le calcul statistique pour les grandes séries bien maîtrisées.
4. Conclusion
1,5 min
Dix écarts de 0,1 mm donnent ± 1 mm au pire, mais un écart type de seulement 0,32 mm s'ils sont indépendants, car les variances s'additionnent. Le choix entre les deux calculs est un compromis entre sécurité et coût. J'ouvre sur la maîtrise statistique des procédés, qui surveille en continu la dispersion des pièces fabriquées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

pire cas : 10 \times 0, 1 = 1 mm V (S) = \sum V (X_{i}) = 10 \times 0, 1^{2} \Rightarrow σ_{S} = 10 \times 0, 1 \approx 0, 32 mm pire cas : 10\times0,1=1 mm V(S)=Σ V(Xᵢ)=10\times0,1²\Rightarrowσ_S=\sqrt(10)\times0,1\approx0,32 mm P (∣ S ∣ \geq 1) \leq \frac{V ( S )}{1 ^{2}} = 0, 1 nσ contre n σ P(|S|\geq1)leqV(S)/1²=0,1 nσ contre \sqrtn σ

Conclusion : la réponse à la question

L'additivité des variances montre que des écarts indépendants se compensent en partie. Le calcul statistique des tolérances fait économiser de la précision, donc de l'argent, sans renoncer à la qualité.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les variances s'additionnent-elles ?

C'est une propriété des sommes de variables aléatoires indépendantes.

Quel écart type pour 25 pièces à 0,1 mm ?

$25 \times 0, 1 = 0, 5$ √(25)×0,1=0,5 mm, contre 2,5 mm au pire cas.

Quand faut-il garder le calcul au pire cas ?

Pour les assemblages critiques ou quand les écarts ne sont pas indépendants.

Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

$P (∣ X - E (X) ∣ \geq a) \leq \frac{V ( X )}{a ^{2}}$ P(|X-E(X)|≥ a)leqV(X)/a².

Pourquoi des tolérances serrées coûtent-elles cher ?

Elles exigent des machines plus précises, plus de contrôles et produisent plus de pièces rejetées.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les écarts types au lieu des variances.
Oublier l'hypothèse d'indépendance.
Croire que le calcul statistique garantit 100 % des assemblages.

Revoir les notions

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