Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

Quelle poutre rectangulaire faut-il découper dans un tronc pour qu'elle soit la plus résistante possible ?

La résistance d'une poutre en flexion est proportionnelle à b h². Dans un tronc de diamètre D, b² + h² = D², donc on maximise f(b) = b(D² − b²) : la dérivée s'annule pour b = D/√3, et h = D√2/√3. Le rapport idéal h/b vaut √2 ≈ 1,41 ; cette poutre résiste 8,9 % mieux que la poutre carrée inscrite.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En visitant une scierie, j'ai vu des poutres rectangulaires découpées dans des troncs ronds, et je me suis demandé pourquoi elles n'étaient pas carrées. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que la résistance d'une poutre dépend de sa hauteur au carré. J'ai voulu chercher la meilleure découpe, et j'ai découvert que ce problème d'optimisation, résolu par une dérivée, donne un rapport célèbre : √2.

L'enjeu et les notions du programme

Exprimer une grandeur à optimiser sous une contrainte géométrique, la ramener à une fonction d'une variable et la maximiser par dérivation.

Mathématiques

Dérivation, variations, maximum (première)
Théorème de Pythagore, cercle circonscrit à un rectangle (collège, seconde)
Fonctions polynômes de degré 3 (première)

Sciences de l'ingénieur

Résistance des matériaux : flexion, module de résistance (terminale)
Optimisation d'une conception sous contrainte (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un tronc a une section circulaire de diamètre $D$ D. On y découpe une poutre de section rectangulaire de largeur $b$ b et de hauteur $h$ h. Sa résistance à la rupture en flexion est proportionnelle à $b h^{2}$ bh². Problématique : quelles dimensions donnent la poutre la plus résistante ?
2. Mathématiques : maximiser sous contrainte
4,5 min
Le rectangle est inscrit dans le cercle : sa diagonale est un diamètre, donc $b^{2} + h^{2} = D^{2}$ b²+h²=D² (Pythagore). On remplace $h^{2} = D^{2} - b^{2}$ h²=D²-b² : la résistance est proportionnelle à $f (b) = b (D^{2} - b^{2}) = D^{2} b - b^{3}$ f(b)=b(D²-b²)=D²b-b³, pour $0 < b < D$ 0<b<D.
Dérivée : $f^{'} (b) = D^{2} - 3 b^{2}$ f'(b)=D²-3b², qui s'annule pour $b = \frac{D}{3}$ b=D/sqrt3. Elle est positive avant, négative après : c'est un maximum. Alors $h^{2} = D^{2} - \frac{D ^{2}}{3} = \frac{2 D ^{2}}{3}$ h²=D²-D²/3=2D²/3, $h = D \frac{2}{3}$ h=D√(2/3) et $\frac{h}{b} = 2 \approx 1, 41$ h/b=sqrt2≈1,41.
Pour un tronc de 40 cm : $b \approx 23, 1$ b≈23,1 cm et $h \approx 32, 7$ h≈32,7 cm. Comparaison avec la poutre carrée inscrite (côté $\frac{D}{2} \approx 28, 3$ D/sqrt2≈28,3 cm) : $\frac{b h ^{2}}{c ^{3}} \approx 1, 089$ bh²/c³≈1,089. La poutre optimale résiste 8,9 % mieux, avec moins de bois que le carré ( $bh \approx 754$ bh≈754 cm² contre 800).
Si l'on cherche plutôt la rigidité, proportionnelle à $b h^{3}$ bh³, le même calcul donne $\frac{h}{b} = 3 \approx 1, 73$ h/b=sqrt3≈1,73 : l'optimum dépend du critère choisi.
3. SI : du calcul à la pratique
2,5 min
Ce résultat, connu depuis Galilée et appliqué par les charpentiers, explique la forme des poutres de bois : plus hautes que larges, posées sur la tranche. Le rapport $2$ sqrt2 est aussi celui du format A4.
En pratique, le scieur tient compte des nœuds, du cœur du tronc moins résistant et des dimensions normalisées du commerce. L'optimisation mathématique fournit une référence, que l'ingénieur ajuste aux contraintes réelles. Elle montre aussi qu'il faut toujours préciser le critère : résistance ou rigidité.
4. Conclusion
1,5 min
La poutre la plus résistante dans un tronc de diamètre $D$ D a une largeur $\frac{D}{3}$ D/sqrt3 et une hauteur $D \frac{2}{3}$ D√(2/3), soit un rapport $2$ sqrt2 ; elle résiste 8,9 % mieux qu'une poutre carrée. Une dérivée sous contrainte donne ce résultat. J'ouvre sur l'optimisation topologique, qui laisse l'ordinateur dessiner des pièces optimales.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

b^{2} + h^{2} = D^{2} f (b) = b (D^{2} - b^{2}) f^{'} (b) = D^{2} - 3 b^{2} = 0 ⟺ b = \frac{D}{3} b²+h²=D² f(b)=b(D²-b²) f'(b)=D²-3b²=0\Leftrightarrow b=D/sqrt3 h = D \frac{2}{3}, \frac{h}{b} = 2 D = 40 cm : b \approx 23, 1, h \approx 32, 7 \frac{b h ^{2}}{c ^{3}} \approx 1, 089 h=D\sqrt(2/3), h/b=sqrt2 D=40 cm : b\approx23,1, h\approx32,7 bh²/c³\approx1,089

Conclusion : la réponse à la question

Optimiser, c'est choisir un critère, l'exprimer avec une seule variable grâce à la contrainte, puis dériver. La poutre de rapport √2 en est un exemple millénaire.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi b² + h² = D² ?

La diagonale d'un rectangle inscrit dans un cercle est un diamètre ; Pythagore donne la relation.

Vérifiez qu'il s'agit d'un maximum.

$f^{'} (b) > 0$ f'(b)>0 pour $b < \frac{D}{3}$ b<D/sqrt3 et $f^{'} (b) < 0$ f'(b)<0 ensuite : $f$ f croît puis décroît.

Quel rapport pour la poutre la plus rigide ?

On maximise $b h^{3}$ bh³ : $\frac{h}{b} = 3$ h/b=sqrt3.

Pourquoi la résistance est-elle proportionnelle à b h² ?

Le module de résistance d'une section rectangulaire vaut $\frac{b h ^{2}}{6}$ bh²/6.

Quel lien avec le format A4 ?

Le rapport longueur sur largeur du papier A4 vaut aussi √2.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la contrainte b² + h² = D².
Confondre résistance (b h²) et rigidité (b h³).
Ne pas justifier qu'il s'agit d'un maximum.

Revoir les notions

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