Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

Pour une poutre aussi rigide qu'une poutre en acier, quel matériau donne la plus légère : aluminium, bois ou carbone ?

Q: Pourquoi a² est-il proportionnel à 1/√E ?

De $Ea⁴=c$, on tire $a⁴=c/E$, donc $a²=√(c/E)$.

À rigidité en flexion égale, la masse d'une poutre de section carrée varie comme ρ/√E. Avec ρ en kg/m³ et E en GPa : acier 542, aluminium 323, bois 144, carbone 131. Le bois est presque aussi bon que le carbone ! En traction, l'indice devient ρ/E, et l'aluminium (38,6) ne fait pas mieux que l'acier (37,4).

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant des vélos, j'ai vu des cadres en acier, en aluminium et en carbone, et même un vélo en bambou. Je me suis demandé lequel était vraiment le plus léger à rigidité égale. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert les « indices de performance » des matériaux, qui se calculent avec des puissances. Le résultat m'a surpris : le bois rivalise avec le carbone.

L'enjeu et les notions du programme

Établir un indice de performance par un calcul de puissances sous contrainte, et comparer des matériaux selon le mode de sollicitation.

Mathématiques

Puissances, racines, calcul littéral (seconde)
Proportionnalité, élimination d'une variable (seconde)
Comparaison de rapports (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Choix des matériaux : masse volumique, module d'Young (première)
Conception et allègement des structures (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
On veut une poutre de longueur donnée, de section carrée de côté $a$ a, avec une rigidité en flexion fixée, la plus légère possible. Problématique : comment comparer les matériaux, sachant qu'un matériau plus léger peut aussi être plus souple ?
2. Mathématiques : éliminer la dimension
4,5 min
La rigidité en flexion est proportionnelle à $E I$ EI, où $E$ E est le module d'Young et $I = \frac{a ^{4}}{12}$ I=a⁴/12 pour une section carrée. La masse est proportionnelle à $ρ a^{2}$ ρ a².
Rigidité fixée : $E a^{4} = constante$ Ea⁴= constante, donc $a^{2}$ a² est proportionnel à $\frac{1}{E}$ 1/( √E ). La masse devient proportionnelle à $\frac{ρ}{E}$ fracρ √E. Le meilleur matériau est celui qui a le plus petit indice $\frac{ρ}{E}$ fracρ √E.
Avec $ρ$ ρ en kg/m³ et $E$ E en GPa : acier (7 850 ; 210) : $\frac{7 850}{210} \approx 542$ (7 850)/√(210)≈542. Aluminium (2 700 ; 70) : 323. Bois (500 ; 12) : 144. Composite carbone (1 600 ; 150) : 131. Le bois donne une poutre presque aussi légère que le carbone, et quatre fois plus légère que l'acier.
En traction (un tirant), la rigidité vaut $E S$ ES et la masse $ρS$ ρ S : l'indice devient $\frac{ρ}{E}$ fracρ E. Acier : 37,4 ; aluminium : 38,6 ; carbone : 10,7 ; bois : 41,7. L'aluminium ne fait alors pas mieux que l'acier. Le même matériau peut être excellent ou médiocre selon la façon dont il travaille.
3. SI : les autres critères
2,5 min
La rigidité n'est pas le seul critère : il faut aussi la résistance, le coût, la tenue à l'humidité et à la fatigue, la facilité de fabrication et l'impact environnemental. Le bois est bon marché et renouvelable mais sensible à l'eau ; le carbone est très performant mais cher et difficile à recycler.
Les ingénieurs utilisent des cartes où chaque matériau est un point (masse volumique, module), et des droites qui correspondent à des indices constants : on y lit d'un coup d'œil les meilleurs candidats. C'est la démarche de choix des matériaux enseignée en conception.
4. Conclusion
1,5 min
À rigidité égale, la masse d'une poutre varie comme $\frac{ρ}{E}$ fracρ √E : le carbone (131) et le bois (144) battent largement l'acier (542). En traction, l'indice $\frac{ρ}{E}$ fracρ E donne un classement différent. Un calcul de puissances guide le choix d'un matériau. J'ouvre sur les structures en nid d'abeille, qui améliorent encore ces indices.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

EI∝ Ea⁴= cste ⇒ a²∝1/( √E )⇒ m∝ρ a²∝fracρ √Efracρ √E : acier 542, alu 323, bois 144, carbone 131 fracρ E: 37,4; 38,6; 41,7; 10,7

Conclusion : la réponse à la question

Comparer des matériaux demande de fixer la fonction de la pièce et d'éliminer ses dimensions. L'indice obtenu, une simple combinaison de puissances, révèle des classements inattendus.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi a² est-il proportionnel à 1/√E ?

De $E a^{4} = c$ Ea⁴=c, on tire $a^{4} = \frac{c}{E}$ a⁴=c/E, donc $a^{2} = \frac{c}{E}$ a²=√(c/E).

Pourquoi l'indice change-t-il en traction ?

La rigidité dépend alors de la section S et non de a⁴ : la masse varie comme ρ/E.

Calculez l'indice de l'aluminium en flexion.

$\frac{2 700}{70} \approx 323$ (2 700)/√(70)≈323.

Pourquoi le bois est-il si performant en flexion ?

Il est très léger ; sa faible rigidité est compensée par une section plus grande, qui travaille bien en flexion.

Quels autres critères comptent ?

Résistance, coût, durabilité, fabrication, recyclage.

Les pièges qui coûtent des points

Comparer les masses volumiques seules.
Utiliser le même indice pour tous les modes de sollicitation.
Oublier les unités cohérentes dans la comparaison.

Revoir les notions

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