Question transversaleMathsSIÉnergie et efficacité

Comment assemble-t-on des milliers de petites piles pour faire la batterie d'une voiture électrique ?

Q: Justifiez (1 − p)ⁿ ≈ e⁽−np).

$nln(1-p)≈-np$ pour $p$ petit.

En série, les tensions s'additionnent ; en parallèle, les capacités. Pour environ 400 V avec des cellules de 3,6 V, il faut 111 cellules en série ; pour 60 kWh avec des cellules de 18 Wh (3,6 V, 5 Ah), environ 3 333 cellules, soit 30 branches en parallèle de 111 cellules. La puissance et le risque de panne dictent ce choix.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai vu une photo de l'intérieur d'une batterie de voiture électrique : des milliers de petites cellules cylindriques, semblables à des piles. Je me suis demandé comment on les relie pour obtenir à la fois une tension élevée et beaucoup d'énergie. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié les associations série et parallèle, et j'ai voulu dimensionner un pack complet.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la proportionnalité et des divisions pour dimensionner un assemblage en série et en parallèle, et discuter sa fiabilité.

Mathématiques

Proportionnalité, produits et quotients (seconde)
Arrondis à l'entier supérieur (seconde)
Probabilités : épreuves indépendantes, événement contraire (première)

Sciences de l'ingénieur

Stockage électrochimique : tension, capacité, énergie (terminale)
Associations série et parallèle (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une cellule lithium-ion fournit environ 3,6 V et stocke quelques wattheures. Une voiture a besoin d'environ 400 V et de dizaines de kilowattheures. Problématique : combien de cellules faut-il, et comment les assembler ?
2. Mathématiques : série, parallèle et énergie
4 min
En série, les tensions s'additionnent : pour environ 400 V, il faut $\frac{400}{3 , 6} \approx 111$ 400/3,6≈111 cellules en série ( $111 \times 3, 6 = 399, 6$ 111×3,6=399,6 V).
L'énergie d'une cellule vaut tension × capacité : $3, 6 \times 5 = 18$ 3,6×5=18 Wh. Pour 60 kWh, il faut $\frac{60 000}{18} \approx 3333$ (60 000)/18≈3 333 cellules. Comme une branche série contient 111 cellules, on monte $\frac{3 333}{111} \approx 30$ (3 333)/111≈30 branches en parallèle. Le pack « 111S30P » contient 3 330 cellules, pour $3330 \times 18 \approx 59, 9$ 3 330×18≈59,9 kWh.
En parallèle, les capacités s'additionnent : 30 branches de 5 Ah donnent 150 Ah. Énergie totale : $399, 6 \times 150 \approx 59, 9$ 399,6×150≈59,9 kWh. Les deux calculs concordent.
Fiabilité : si une cellule a une probabilité $p = 1 0^{- 5}$ p=10⁻⁵ de défaillir pendant une période, la probabilité qu'aucune des 3 330 ne défaille vaut $(1 - p)^{3330} \approx e^{- 0, 033} \approx 0, 967$ (1-p)^(3 330)≈ e^(-0,033)≈0,967 : une défaillance n'est pas si rare à cette échelle. Le montage en parallèle limite ses conséquences.
3. SI : gestion et sécurité
3 min
Un système électronique de gestion (BMS) surveille la tension de chaque groupe de cellules en parallèle et équilibre leur charge. Une cellule faible dans une chaîne série limiterait tout le pack : c'est le maillon faible. En parallèle, une cellule défaillante peut être isolée par un fusible, et les autres de sa branche prennent le relais.
La tension élevée réduit le courant pour une même puissance ( $P = U I$ P=UI), donc les pertes et la section des câbles : à 100 kW, il faut 250 A sous 400 V, mais 1 250 A sous 80 V. C'est pourquoi les constructeurs passent même à 800 V pour la recharge rapide.
4. Conclusion
1,5 min
Pour 400 V et 60 kWh, on assemble 111 cellules en série et 30 branches en parallèle, soit 3 330 cellules. Les règles d'addition des tensions et des capacités suffisent au dimensionnement, et les probabilités montrent pourquoi la surveillance de chaque cellule est indispensable. J'ouvre sur le recyclage de ces batteries.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

s \overset{e}{ˊ} rie : U = n_{s} \times 3, 6 \Rightarrow n_{s} = 111 (399, 6 V) parall \overset{e}{ˋ} le : C = n_{p} \times 5 Ah série : U=n_s\times3,6\Rightarrow n_s=111 (399,6 V ) parallèle : C=nₚ\times5 Ah \frac{60 000}{18} \approx 3333 \Rightarrow n_{p} \approx 30399, 6 \times 150 \approx 59, 9 kWh (1 - 1 0^{- 5})^{3330} \approx 0, 967 (60 000)/18\approx3 333\Rightarrow nₚ\approx30 399,6\times150\approx59,9 kWh (1-10⁻⁵)^(3 330)\approx0,967

Conclusion : la réponse à la question

Une batterie de voiture est un assemblage dimensionné par des additions de tensions et de capacités. La proportionnalité fixe le nombre de cellules, et les probabilités guident la conception de sa surveillance.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de cellules en série pour 800 V ?

800/3,6 ≈ 222.

Quel courant à 100 kW sous 400 V ?

I = P/U = 250 A.

Pourquoi une cellule faible limite-t-elle une chaîne série ?

Le même courant traverse toutes les cellules : la plus faible se vide la première et impose l'arrêt.

Justifiez (1 − p)ⁿ ≈ e^(−np).

$n ln (1 - p) \approx - n p$ nln(1-p)≈-np pour $p$ p petit.

Qu'est-ce qu'un BMS ?

Le système de gestion de la batterie, qui surveille tensions et températures et équilibre les cellules.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre capacité (Ah) et énergie (Wh).
Additionner les tensions en parallèle.
Oublier d'arrondir à l'entier supérieur le nombre de cellules en série.

Revoir les notions

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