Question transversaleMathsSIMécanismes et mouvements

Comment les vitesses d'un vélo permettent-elles de monter une côte ou de rouler vite avec le même effort ?

Q: Convertissez 787,5 m/min en km/h.

$787,5×60=47 250$ m/h, soit environ 47 km/h.

Q: Pourquoi le couple augmente-t-il quand la vitesse diminue ?

À puissance constante, $C=frac Pω$ : couple et vitesse de rotation sont inversement proportionnels.

Le rapport de transmission vaut le nombre de dents du plateau divisé par celui du pignon. Avec 50/12, un tour de pédale fait 4,17 tours de roue, soit 8,75 m pour une roue de 2,1 m de circonférence ; avec 34/28, seulement 2,55 m. Le couple à la roue varie en sens inverse : la puissance se conserve, aux pertes près.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En montant une côte à vélo, je passe sur le petit plateau et le grand pignon, et je pédale vite sans avancer beaucoup. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié les transmissions par chaîne et par engrenages. J'ai voulu calculer la distance parcourue à chaque tour de pédale selon le braquet, et comprendre pourquoi on échange de la vitesse contre de la force.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la proportionnalité et la conservation de la puissance pour comparer des rapports de transmission.

Mathématiques

Proportionnalité, rapports et fractions (seconde)
Périmètre du cercle (seconde)
Fonction inverse : couple et vitesse inversement proportionnels (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Chaîne de puissance : transmetteurs, rapport de transmission (première)
Puissance mécanique P = C ω, rendement (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un vélo transmet le mouvement des pédales à la roue par une chaîne qui relie un plateau (à l'avant) et un pignon (à l'arrière). Problématique : comment le choix du plateau et du pignon modifie-t-il la vitesse et l'effort ?
2. Mathématiques : rapport et distance
4 min
La chaîne fait passer le même nombre de dents par seconde sur le plateau et sur le pignon. Si le plateau a $Z_{1}$ Z₁ dents et le pignon $Z_{2}$ Z₂, un tour de pédale fait passer $Z_{1}$ Z₁ maillons, donc fait tourner le pignon (et la roue) de $\frac{Z _{1}}{Z _{2}}$ Z₁/Z₂ tours.
Braquet 50/12 : $\frac{50}{12} \approx 4, 17$ 50/12≈4,17 tours de roue par tour de pédale. Avec une roue de circonférence 2,1 m : $4, 17 \times 2, 1 \approx 8, 75$ 4,17×2,1≈8,75 m par tour de pédale. Braquet 34/28 : $\frac{34}{28} \approx 1, 21$ 34/28≈1,21 tour, soit 2,55 m.
À 90 tours de pédale par minute : en 50/12, $90 \times 8, 75 = 787, 5$ 90×8,75=787,5 m par minute, soit 47 km/h ; en 34/28, environ 14 km/h.
Puissance : $P = C ω$ P=Cω. Sans pertes, la puissance à la roue égale celle des pédales. Si la roue tourne $\frac{Z _{1}}{Z _{2}}$ Z₁/Z₂ fois plus vite, le couple disponible à la roue est $\frac{Z _{1}}{Z _{2}}$ Z₁/Z₂ fois plus petit. Le petit braquet donne un grand couple à la roue, utile en côte.
3. SI : choisir une gamme de rapports
3 min
Un cycliste fournit sa meilleure puissance dans une plage étroite de cadence (60 à 100 tours par minute). Les vitesses permettent de rester dans cette plage quelle que soit la pente : on adapte le rapport pour que la vitesse des pédales reste confortable.
Le même principe gouverne la boîte de vitesses d'une voiture ou le réducteur d'un moteur électrique : un moteur rapide et peu puissant en couple est associé à un réducteur pour entraîner une charge lourde. Un réducteur à engrenages de rapport $\frac{1}{10}$ 1/10 divise la vitesse par 10 et multiplie le couple par 10 (moins les pertes, souvent 2 à 5 % par étage).
4. Conclusion
1,5 min
Le rapport plateau sur pignon fixe la distance par tour de pédale : 8,75 m en 50/12, 2,55 m en 34/28. La conservation de la puissance impose qu'on gagne en couple ce qu'on perd en vitesse. J'ouvre sur les transmissions à variation continue, qui offrent une infinité de rapports.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{ω _{roue}}{ω _{p \overset{e}{ˊ} dale}} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} \frac{50}{12} \times 2, 1 \approx 8, 75 m \frac{34}{28} \times 2, 1 \approx 2, 55 m ω_roue/ω_pédale=Z₁/Z₂ 50/12\times2,1\approx8,75 m 34/28\times2,1\approx2,55 m P = C ω \Rightarrow C_{roue} = C_{p \overset{e}{ˊ} dale} \times \frac{Z _{2}}{Z _{1}} P=Cω \Rightarrow C_roue=C_pédaletimesZ₂/Z₁

Conclusion : la réponse à la question

Une transmission échange de la vitesse contre du couple, dans un rapport égal au rapport des dents. Proportionnalité et conservation de la puissance suffisent à choisir le bon braquet.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien de tours de roue pour un tour de pédale en 42/21 ?

2 tours.

Convertissez 787,5 m/min en km/h.

$787, 5 \times 60 = 47250$ 787,5×60=47 250 m/h, soit environ 47 km/h.

Pourquoi le couple augmente-t-il quand la vitesse diminue ?

À puissance constante, $C = \frac{P}{ω}$ C=frac Pω : couple et vitesse de rotation sont inversement proportionnels.

Qu'est-ce que le rendement d'une transmission ?

Le rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée ; une chaîne propre atteint environ 98 %.

Quel rapport pour une côte très raide ?

Le plus petit plateau et le plus grand pignon, pour maximiser le couple à la roue.

Les pièges qui coûtent des points

Inverser le rapport (pignon sur plateau).
Oublier que le couple varie en sens inverse de la vitesse.
Confondre diamètre et circonférence de la roue.

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