Question transversaleMathsSIMécanismes et mouvements

Comment une simple roue décentrée peut-elle produire un mouvement de va-et-vient parfaitement régulier ?

Q: Dérivez deux fois e sin(ωt).

$eωcos(ω t)$, puis $-eω²sin(ω t)$.

Q: Que devient l'accélération si la vitesse de rotation double ?

Elle est multipliée par 4, car elle dépend de $ω²$.

Q: Quelle est la période du mouvement ?

Un tour de came : $frac2πω$, soit 0,04 s à 1 500 tr/min.

Un disque de rayon R tournant autour d'un point décalé de e pousse un poussoir plat à la hauteur y(θ) = e sin θ + R (en prenant pour origine des angles la position où le centre du disque est au niveau de l'axe) : un mouvement sinusoïdal de course 2e. Sa vitesse e ω cos θ et son accélération −e ω² sin θ se lisent par dérivation.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En observant une machine à coudre ouverte, j'ai vu une pièce ronde montée de travers sur un axe, qui faisait monter et descendre une tige. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris qu'il s'agit d'une came excentrique. J'ai voulu montrer que le mouvement obtenu est exactement sinusoïdal, et en déduire la vitesse et l'accélération de la tige.

L'enjeu et les notions du programme

Établir la loi de mouvement d'une came par la géométrie, puis la dériver deux fois pour obtenir vitesse et accélération.

Mathématiques

Fonctions sinus et cosinus, dérivées (terminale)
Coordonnées d'un point sur un cercle (première)
Amplitude et période d'une fonction sinusoïdale (première)

Sciences de l'ingénieur

Transformation de mouvement : cames et poussoirs (première)
Cinématique : loi de mouvement, vitesse, accélération (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une came excentrique est un disque de rayon $R$ R qui tourne autour d'un axe situé à la distance $e$ e de son centre. Un poussoir à face plate, guidé verticalement, repose sur le disque. Problématique : quel mouvement prend le poussoir ?
2. Mathématiques : un mouvement exactement sinusoïdal
4 min
On place l'axe de rotation à l'origine. Quand le disque a tourné d'un angle $θ$ θ, son centre est en $(e cos θ; e sin θ)$ (ecosθ;esinθ). Le poussoir plat touche le point le plus haut du disque, à la hauteur du centre plus le rayon : $y (θ) = e sin θ + R$ y(θ)=esinθ+R.
C'est une fonction sinusoïdale d'amplitude $e$ e, oscillant entre $R - e$ R-e et $R + e$ R+e : la course vaut $2 e$ 2e. Avec $e = 1$ e=1 cm, la tige monte et descend de 2 cm.
À vitesse de rotation constante, $θ = ω t$ θ=ω t. Vitesse : $v = y^{'} (t) = e ω cos (ω t)$ v=y'(t)=eωcos(ω t), maximale $e ω$ eω. Accélération : $a = - e ω^{2} sin (ω t)$ a=-eω²sin(ω t), maximale $e ω^{2}$ eω². À 1 500 tr/min, $ω \approx 157$ ω≈157 rad/s : vitesse maximale 1,57 m/s, accélération maximale environ 247 m/s², soit 25 fois l'accélération de la pesanteur.
Ce résultat exact ne vaut que pour un poussoir à face plate ; avec un poussoir à galet ou à pointe, la loi est seulement approximativement sinusoïdale.
3. SI : choisir une loi de came
3 min
La loi sinusoïdale est douce : vitesse et accélération varient sans à-coup, ce qui limite les chocs et le bruit. On l'utilise dans les pompes à piston, les machines à coudre ou les compresseurs.
D'autres cames, au profil spécialement dessiné, imposent des lois plus complexes : rester immobile pendant une partie du tour, puis monter rapidement, comme les cames de soupapes d'un moteur. Leur conception consiste à choisir une fonction $y (θ)$ y(θ) dont les dérivées restent raisonnables. L'accélération maximale fixe la force nécessaire au ressort qui plaque le poussoir contre la came.
4. Conclusion
1,5 min
Une came excentrique avec un poussoir plat produit un mouvement exactement sinusoïdal, $y = e sin θ + R$ y=esinθ+R, de course $2 e$ 2e. En dérivant, on obtient une vitesse maximale $e ω$ eω et une accélération maximale $e ω^{2}$ eω². J'ouvre sur les cames de soupapes, dont le profil est optimisé par le calcul.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

y (θ) = R + e sin θ course = 2 e y(θ)=R+esinθ course =2e v = e ω cos ω t, a = - e ω^{2} sin ω t e = 1 cm, ω \approx 157 : v_{m a x} \approx 1, 57 m/s, a_{m a x} \approx 247 m/s^{2} v=eωcosω t, a=-eω²sinω t e=1 cm , ω\approx157: v_max\approx1,57 m/s , a_max\approx247 m/s ²

Conclusion : la réponse à la question

Une roue décentrée transforme une rotation en sinusoïde. Les dérivées successives du sinus donnent vitesse et accélération, qui guident le choix du ressort et du profil.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Dérivez deux fois e sin(ωt).

$e ω cos (ω t)$ eωcos(ω t), puis $- e ω^{2} sin (ω t)$ -eω²sin(ω t).

Que devient l'accélération si la vitesse de rotation double ?

Elle est multipliée par 4, car elle dépend de $ω^{2}$ ω².

Pourquoi faut-il un ressort ?

Pour garder le poussoir en contact avec la came quand l'accélération est dirigée vers le bas.

Convertissez 1 500 tr/min en rad/s.

$\frac{1500 \times 2 π}{60} \approx 157$ 1500×2π/60≈157 rad/s.

Quelle est la période du mouvement ?

Un tour de came : $\frac{2 π}{ω}$ frac2πω, soit 0,04 s à 1 500 tr/min.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre excentricité e et rayon R.
Oublier que la loi n'est exactement sinusoïdale qu'avec un poussoir plat.
Oublier le facteur ω² dans l'accélération.

Revoir les notions

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