Question transversaleMathsSIMécanismes et mouvements

Comment un moteur transforme-t-il le va-et-vient d'un piston en rotation, et à quelle vitesse se déplace le piston ?

Q: Calculez x(π/2).

$0+√(0,14²-0,04²)=√(0,018)≈13,4$ cm.

Q: Où la vitesse du piston est-elle nulle ?

Aux points morts, $θ=0$ et $θ=π$, où $sinθ=0$.

Q: Que devient x si L est très grand devant r ?

$x≈ L+rcosθ$ : un mouvement sinusoïdal.

La position du piston vaut x(θ) = r cos θ + √(L² − r² sin² θ). Avec r = 4 cm et L = 14 cm, la course est 2r = 8 cm. À 3 000 tr/min, sa vitesse moyenne est de 8 m/s et sa vitesse maximale d'environ 13 m/s, un peu plus que rω ≈ 12,6 m/s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En démontant un vieux moteur de mobylette en sciences de l'ingénieur, j'ai vu le mécanisme bielle-manivelle qui transforme le mouvement rectiligne du piston en rotation. J'ai voulu exprimer la position du piston en fonction de l'angle de rotation, puis calculer sa vitesse : j'ai retrouvé la trigonométrie, Pythagore et la dérivée d'une fonction composée.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un mécanisme par une fonction trigonométrique, la dériver et comparer vitesse moyenne et vitesse maximale.

Mathématiques

Trigonométrie, cercle trigonométrique (première)
Dérivée d'une fonction composée, de √u (terminale)
Théorème de Pythagore (collège, seconde)

Sciences de l'ingénieur

Cinématique : transformation de mouvement, loi entrée-sortie (terminale)
Mécanisme bielle-manivelle (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une manivelle de rayon $r$ r tourne autour d'un axe. Une bielle de longueur $L$ L relie son extrémité au piston, qui coulisse sur une droite. Problématique : quelle est la position du piston en fonction de l'angle, et quelle est sa vitesse ?
2. Mathématiques : position et vitesse
4,5 min
Le centre de rotation est à l'origine, le piston se déplace sur l'axe des abscisses. L'extrémité de la manivelle est en $(r cos θ; r sin θ)$ (rcosθ;rsinθ). La bielle de longueur $L$ L la relie au piston $(x; 0)$ (x;0) : par Pythagore, $(x - r cos θ)^{2} + r^{2} sin^{2} θ = L^{2}$ (x-rcosθ)²+r²sin²θ=L², d'où $x (θ) = r cos θ + L^{2} - r^{2} sin^{2} θ$ x(θ)=rcosθ+√(L²-r²sin²θ).
Avec $r = 4$ r=4 cm et $L = 14$ L=14 cm : $x (0) = 18$ x(0)=18 cm et $x (π) = 10$ x(π)=10 cm. La course vaut $2 r = 8$ 2r=8 cm.
Vitesse : $θ = ω t$ θ=ω t, donc $v = \frac{d x}{d t} = ω x^{'} (θ)$ v=dx/dt=ω x'(θ). On dérive : $x^{'} (θ) = - r sin θ - \frac{r ^{2} s i n θ c o s θ}{L ^{2} - r ^{2} s i n ^{2} θ}$ x'(θ)=-rsinθ-r²sinθcosθ/(√(L²-r²sin²θ)). À 3 000 tr/min, $ω = 2 π \times 50 \approx 314$ ω=2π×50≈314 rad/s.
La vitesse moyenne est la distance parcourue (deux courses) par tour, divisée par la durée d'un tour : $\frac{2 \times 0 , 08}{1/50} = 8$ 2×0,08/(1/50)=8 m/s. La vitesse maximale, calculée numériquement, vaut environ 13,1 m/s, proche de $r ω \approx 12, 6$ rω≈12,6 m/s : quand $L$ L est grand devant $r$ r, le piston se déplace presque comme $r cos θ$ rcosθ, un mouvement sinusoïdal.
3. SI : conséquences mécaniques
2,5 min
Le piston s'arrête deux fois par tour (aux points morts) et atteint sa vitesse maximale entre les deux : il subit de fortes accélérations, d'où des efforts importants sur la bielle, d'autant plus grands que le moteur tourne vite (ils croissent comme $ω^{2}$ ω²).
La vitesse moyenne du piston limite le régime des moteurs : au-delà de 20 à 25 m/s, l'usure et les échauffements deviennent excessifs. C'est pourquoi les moteurs à très haut régime ont une course courte. Le même mécanisme, inversé, transforme une rotation en va-et-vient dans une pompe ou une scie sauteuse.
4. Conclusion
1,5 min
La position du piston, $r cos θ + L^{2} - r^{2} sin^{2} θ$ rcosθ+√(L²-r²sin²θ), se déduit de Pythagore et se dérive comme une fonction composée. À 3 000 tr/min, le piston va en moyenne à 8 m/s et au maximum à environ 13 m/s. J'ouvre sur l'équilibrage des moteurs, qui compense les efforts dus à ces accélérations.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

x (θ) = r cos θ + L^{2} - r^{2} sin^{2} θ x (0) - x (π) = 2 r = 8 cm x(θ)=rcosθ+\sqrt(L²-r²sin²θ) x(0)-x(π)=2r=8 cm v = ω x^{'} (θ) \overset{v}{ˉ} = \frac{2 \times 0 , 08}{1/50} = 8 m/s v_{m a x} \approx 13 m/s \approx r ω v=ω x'(θ) bar v=2\times0,08/(1/50)=8 m/s v_max\approx13 m/s \approx rω

Conclusion : la réponse à la question

Un mécanisme se décrit par une fonction, et sa vitesse par une dérivée. La trigonométrie et la dérivation de fonctions composées rendent compte du mouvement du piston et des contraintes qu'il impose au moteur.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez x(π/2).

$0 + 0, 1 4^{2} - 0, 0 4^{2} = 0, 018 \approx 13, 4$ 0+√(0,14²-0,04²)=√(0,018)≈13,4 cm.

Dérivez √(u(θ)).

$\frac{u ^{'} ( θ )}{2 u ( θ )}$ u'(θ)/2√(u(θ)).

Où la vitesse du piston est-elle nulle ?

Aux points morts, $θ = 0$ θ=0 et $θ = π$ θ=π, où $sin θ = 0$ sinθ=0.

Que devient x si L est très grand devant r ?

$x \approx L + r cos θ$ x≈ L+rcosθ : un mouvement sinusoïdal.

Pourquoi les moteurs rapides ont-ils une course courte ?

Pour limiter la vitesse moyenne du piston, proportionnelle à la course et au régime.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur ω en passant de x'(θ) à la vitesse.
Confondre course (2r) et rayon de manivelle (r).
Supposer le mouvement exactement sinusoïdal.

Revoir les notions

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