Question transversaleMathsSIMécanismes et mouvements

Pourquoi un joint de cardan ne transmet-il pas une vitesse de rotation constante ?

Q: Combien de fois par tour la vitesse est-elle maximale ?

Deux fois, car elle dépend de $cos²θ₁$, de période $π$.

Pour deux arbres faisant un angle β, les angles de rotation vérifient tan θ₂ = tan θ₁ / cos β. La vitesse de sortie oscille entre ω cos β et ω / cos β deux fois par tour : pour β = 30°, entre 0,87 et 1,15 fois la vitesse d'entrée. Deux cardans montés en opposition compensent l'effet.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant sous un vieux tracteur, j'ai vu un arbre de transmission relié par des articulations en croix. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que ces joints de cardan transmettent la rotation entre deux arbres inclinés, mais de façon irrégulière. Cela m'a semblé étrange pour une pièce si répandue, et j'ai voulu comprendre cette irrégularité avec la trigonométrie.

L'enjeu et les notions du programme

Exploiter une relation trigonométrique entre deux angles et en déduire, par un encadrement, la variation de la vitesse de sortie.

Mathématiques

Fonctions trigonométriques : cosinus, tangente (première, terminale)
Encadrement, comparaison de fonctions (seconde)
Dérivation d'une fonction composée (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Liaisons mécaniques, transmission entre arbres non alignés (première)
Loi entrée-sortie d'un mécanisme (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un joint de cardan relie deux arbres qui font un angle $β$ β entre eux, par une croix articulée. Problématique : si l'arbre d'entrée tourne à vitesse constante, l'arbre de sortie tourne-t-il aussi à vitesse constante ?
2. Mathématiques : une loi trigonométrique
4 min
La géométrie du joint (admise) relie l'angle d'entrée $θ_{1}$ θ₁ et l'angle de sortie $θ_{2}$ θ₂ : $tan θ_{2} = \frac{t a n θ _{1}}{c o s β}$ tanθ₂=tanθ₁/cosβ. Si $β = 0$ β=0, $θ_{2} = θ_{1}$ θ₂=θ₁ : les arbres sont alignés et tournent ensemble.
Les deux arbres font le même nombre de tours, mais pas à la même vitesse à chaque instant. En dérivant la relation, on obtient le rapport des vitesses $\frac{ω _{2}}{ω _{1}} = \frac{c o s β}{1 - s i n ^{2} β c o s ^{2} θ _{1}}$ ω₂/ω₁=cosβ/(1-sin²βcos²θ₁).
Le dénominateur varie entre $1 - sin^{2} β = cos^{2} β$ 1-sin²β=cos²β (quand $cos^{2} θ_{1} = 1$ cos²θ₁=1) et 1 (quand $cos θ_{1} = 0$ cosθ₁=0). Le rapport varie donc entre $cos β$ cosβ et $\frac{1}{c o s β}$ 1/cosβ, deux fois par tour.
Pour $β = 10°$ β=10° : entre 0,985 et 1,015. Pour $β = 30°$ β=30° : entre 0,866 et 1,155, soit une variation de près de 30 %. L'irrégularité croît vite avec l'angle.
3. SI : compenser l'irrégularité
3 min
Ces variations de vitesse provoquent des vibrations et des efforts alternés dans la transmission. On monte donc deux cardans à la suite, avec des angles égaux et des croix orientées correctement : les irrégularités du premier sont exactement compensées par le second, et l'arbre final tourne à vitesse constante.
Dans les voitures à traction avant, où les roues braquent fortement, on utilise des joints « homocinétiques » (à billes), conçus pour transmettre une vitesse constante quel que soit l'angle. Le cardan reste utilisé pour les petits angles, car il est simple et robuste.
4. Conclusion
1,5 min
Un joint de cardan transmet la rotation avec une vitesse qui oscille entre $ω cos β$ ωcosβ et $\frac{ω}{c o s β}$ fracωcosβ : pour 30°, près de 30 % de variation. Monter deux cardans en opposition, ou utiliser des joints homocinétiques, supprime cet effet. J'ouvre sur les transmissions des robots, où la régularité du mouvement est essentielle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

tan θ_{2} = \frac{tan θ _{1}}{cos β} \frac{ω _{2}}{ω _{1}} = \frac{cos β}{1 - sin ^{2} β cos ^{2} θ _{1}} tanθ₂=tanθ₁/cosβ ω₂/ω₁=cosβ/(1-sin²βcos²θ₁) cos β \leq \frac{ω _{2}}{ω _{1}} \leq \frac{1}{cos β} β = 30° : 0, 866 \overset{a}{ˋ} 1, 155 cosβ\leqω₂/ω₁\leq1/cosβ β=30°: 0,866 à 1,155

Conclusion : la réponse à la question

La trigonométrie explique l'irrégularité du cardan et permet de la chiffrer par un encadrement. La solution d'ingénieur, deux cardans opposés, en découle directement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que se passe-t-il pour β = 0 ?

cos β = 1 : la vitesse de sortie égale la vitesse d'entrée en permanence.

Combien de fois par tour la vitesse est-elle maximale ?

Deux fois, car elle dépend de $cos^{2} θ_{1}$ cos²θ₁, de période $π$ π.

Calculez 1/cos 20°.

Environ 1,064 : la vitesse varie de ± 6 % environ.

Les deux arbres font-ils le même nombre de tours ?

Oui : la sortie prend de l'avance puis du retard, mais fait un tour en même temps que l'entrée.

Qu'est-ce qu'un joint homocinétique ?

Un joint qui transmet une vitesse de rotation constante quel que soit l'angle entre les arbres.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la sortie fait plus de tours que l'entrée.
Oublier que l'irrégularité dépend de l'angle β.
Confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée.

Revoir les notions

Autres questions : mécanismes et mouvements

Toutes les questions maths-sciences de l'ingénieur →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →