Question transversaleMathsSIMécanismes et mouvements

Comment un bras robotisé calcule-t-il les angles de ses articulations pour atteindre un point précis ?

Q: Rappelez la loi des cosinus.

Dans un triangle, $c²=a²+b²-2abcosγ$, où $γ$ est l'angle opposé à $c$.

Pour un bras à deux segments de 30 et 20 cm, atteindre le point (35 ; 15) donne, par la loi des cosinus, cos θ₂ = (d² − L₁² − L₂²) / (2 L₁ L₂) = 0,125, soit θ₂ ≈ 82,8°. Il y a deux solutions, « coude en haut » et « coude en bas ». Le point n'est accessible que si 10 cm ≤ d ≤ 50 cm.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons programmé un petit bras robotisé à deux moteurs pour qu'il saisisse un objet. Il fallait calculer les angles à donner aux moteurs pour que la pince arrive à une position donnée. J'ai découvert que ce problème, appelé cinématique inverse, se résout avec la loi des cosinus vue en première, et qu'il a souvent deux solutions.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre un problème inverse de géométrie avec la loi des cosinus, discuter le nombre de solutions et l'ensemble des points accessibles.

Mathématiques

Loi des cosinus (Al-Kashi), produit scalaire (première)
Coordonnées polaires, cosinus et sinus (première)
Inégalité triangulaire, distance (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Cinématique d'un robot : modèle géométrique direct et inverse (terminale)
Commande d'axes motorisés (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un bras plan a deux segments de longueurs $L_{1} = 30$ L₁=30 cm et $L_{2} = 20$ L₂=20 cm, articulés à l'épaule et au coude. Connaissant les angles, il est facile de trouver la position de la pince ; le problème inverse est plus délicat. Problématique : quels angles donner pour atteindre le point $P (35; 15)$ P(35;15) ?
2. Mathématiques : la loi des cosinus
4,5 min
Position directe : $x = L_{1} cos θ_{1} + L_{2} cos (θ_{1} + θ_{2})$ x=L₁cosθ₁+L₂cos(θ₁+θ₂), $y = L_{1} sin θ_{1} + L_{2} sin (θ_{1} + θ_{2})$ y=L₁sinθ₁+L₂sin(θ₁+θ₂).
Problème inverse : la distance de l'épaule à $P$ P vaut $d = 3 5^{2} + 1 5^{2} \approx 38, 1$ d=√(35²+15²)≈38,1 cm. Dans le triangle épaule-coude-pince, de côtés $L_{1}$ L₁, $L_{2}$ L₂ et $d$ d, la loi des cosinus donne $d^{2} = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + 2 L_{1} L_{2} cos θ_{2}$ d²=L₁²+L₂²+2L₁L₂cosθ₂, où $θ_{2}$ θ₂ est l'angle du coude par rapport au prolongement du bras. D'où $cos θ_{2} = \frac{d ^{2} - L _{1}^{2} - L _{2}^{2}}{2 L _{1} L _{2}} = \frac{1 450 - 900 - 400}{1 200} = 0, 125$ cosθ₂=(d²-L₁²-L₂²)/2L₁L₂=(1 450-900-400)/(1 200)=0,125, soit $θ_{2} \approx \pm 82, 8°$ θ₂≈±82,8°.
Deux solutions, symétriques : coude en bas ( $θ_{2} \approx 82, 8°$ θ₂≈82,8°, $θ_{1} \approx - 8, 2°$ θ₁≈-8,2°) ou coude en haut ( $θ_{2} \approx - 82, 8°$ θ₂≈-82,8°, $θ_{1} \approx 54, 6°$ θ₁≈54,6°). On vérifie en reportant dans les formules directes.
Accessibilité : il faut $- 1 \leq cos θ_{2} \leq 1$ -1≤cosθ₂≤1, ce qui équivaut à $∣ L_{1} - L_{2} ∣ \leq d \leq L_{1} + L_{2}$ |L₁-L₂|≤ d≤ L₁+L₂, soit $10 \leq d \leq 50$ 10≤ d≤50 cm : la zone atteignable est une couronne. C'est l'inégalité triangulaire.
3. SI : du calcul au mouvement
2,5 min
Le programme du robot calcule ces angles pour chaque point de la trajectoire et envoie les consignes aux moteurs. Il choisit entre les deux solutions selon les obstacles ou pour éviter de grands mouvements.
Près de la limite $d = L_{1} + L_{2}$ d=L₁+L₂ (bras tendu), de petits déplacements de la pince demandent de grandes variations d'angle : c'est une configuration singulière, que les programmeurs évitent. Pour un bras industriel à six axes, la cinématique inverse est bien plus complexe et se résout souvent numériquement.
4. Conclusion
1,5 min
La loi des cosinus résout la cinématique inverse d'un bras à deux segments : $cos θ_{2} = 0, 125$ cosθ₂=0,125 pour atteindre $(35; 15)$ (35;15), avec deux postures possibles. L'inégalité triangulaire décrit la zone atteignable, une couronne entre 10 et 50 cm. J'ouvre sur les bras à trois segments, qui ont une infinité de solutions et permettent de contourner les obstacles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

d^{2} = L_{1}^{2} + L_{2}^{2} + 2 L_{1} L_{2} cos θ_{2} \Rightarrow cos θ_{2} = \frac{1 450 - 900 - 400}{1 200} = 0, 125 d²=L₁²+L₂²+2L₁L₂cosθ₂ \Rightarrow cosθ₂=(1 450-900-400)/(1 200)=0,125 θ_{2} \approx \pm 82, 8° ∣ L_{1} - L_{2} ∣ \leq d \leq L_{1} + L_{2} : 10 \leq d \leq 50 cm θ₂\approx\pm82,8° |L₁-L₂|\leq d\leq L₁+L₂: 10\leq d\leq50 cm

Conclusion : la réponse à la question

Faire atteindre un point à un bras robotisé, c'est résoudre un triangle. La loi des cosinus donne les angles, et l'inégalité triangulaire dit quels points sont accessibles.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Rappelez la loi des cosinus.

Dans un triangle, $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ c²=a²+b²-2abcosγ, où $γ$ γ est l'angle opposé à $c$ c.

Pourquoi un signe + dans la formule du bras ?

L'angle du coude est mesuré par rapport au prolongement du premier segment : l'angle du triangle vaut 180° − θ₂, et cos(180° − θ₂) = −cos θ₂.

Le point (60 ; 0) est-il accessible ?

Non : d = 60 cm dépasse L₁ + L₂ = 50 cm.

Combien de solutions si d = 50 cm ?

Une seule : le bras est tendu, θ₂ = 0.

Qu'est-ce que le modèle géométrique direct ?

Le calcul de la position de la pince à partir des angles des articulations.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier la deuxième solution.
Se tromper de signe dans la loi des cosinus selon l'angle choisi.
Ne pas vérifier que le point est accessible.

Revoir les notions

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