Question transversaleMathsSIRésistance des structures

Pourquoi un câble tendu entre deux poteaux ne peut-il jamais être parfaitement horizontal ?

Q: Justifiez sin θ ≈ θ pour θ petit.

La tangente à la courbe du sinus en 0 a pour équation $y=x$ : $sinθ≈θ$ en radians.

Une charge F suspendue au milieu d'un câble qui fait un angle θ avec l'horizontale le tend avec T = F / (2 sin θ). Pour θ = 30°, T = F ; pour 10°, T ≈ 2,9 F ; pour 1°, T ≈ 29 F. Quand θ tend vers 0, T tend vers l'infini : aucun câble ne pourrait le supporter.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En installant une corde à linge, j'ai voulu la tendre parfaitement droite, et elle a fini par arracher un crochet. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié l'équilibre d'un nœud de treillis avec les projections des forces. J'ai compris que tendre un câble à l'horizontale demanderait une force infinie, et j'ai voulu le démontrer avec la trigonométrie.

L'enjeu et les notions du programme

Projeter des forces avec le sinus, résoudre l'équilibre d'un point et étudier une limite quand l'angle tend vers zéro.

Mathématiques

Trigonométrie : sinus d'un angle, projections (seconde, première)
Vecteurs, somme nulle (seconde)
Limite d'une fonction, asymptote (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Statique : équilibre d'un solide, principe fondamental (terminale)
Structures : câbles et treillis (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un câble est fixé à deux poteaux et une charge est suspendue en son milieu. Le câble forme un léger V, d'angle $θ$ θ avec l'horizontale. Problématique : quelle est la tension du câble, et pourquoi ne peut-on pas le rendre parfaitement horizontal ?
2. Mathématiques : équilibre et limite
4 min
Au point d'accroche, trois forces s'équilibrent : le poids $F$ vecteur F vers le bas et les deux tensions $T_{1}$ vecteur T ₁, $T_{2}$ vecteur T ₂ le long du câble. Par symétrie, elles ont la même intensité $T$ T. Leur somme est nulle.
Projection horizontale : $T cos θ - T cos θ = 0$ Tcosθ-Tcosθ=0, toujours vérifiée. Projection verticale : $2 T sin θ - F = 0$ 2Tsinθ-F=0, donc $T = \frac{F}{2 s i n θ}$ T=F/2sinθ.
Valeurs : $θ = 30°$ θ=30° : $sin θ = \frac{1}{2}$ sinθ=1/2, $T = F$ T=F. $θ = 10°$ θ=10° : $T \approx 2, 9 F$ T≈2,9F. $θ = 5°$ θ=5° : $T \approx 5, 7 F$ T≈5,7F. $θ = 1°$ θ=1° : $T \approx 29 F$ T≈29F.
Quand $θ \to 0$ θ→0, $sin θ \to 0^{+}$ sinθ→0⁺ et $T \to + \infty$ T→+∞ : la fonction $θ \mapsto \frac{F}{2 s i n θ}$ θmapstoF/2sinθ a une asymptote verticale en 0. Rendre le câble horizontal demanderait une tension infinie. Pour de petits angles, $sin θ \approx θ$ sinθ≈θ (en radians) : $T \approx \frac{F}{2 θ}$ TapproxF/2θ, la tension est inversement proportionnelle à l'angle.
3. SI : treillis et lignes électriques
3 min
Le même calcul s'applique aux barres d'un treillis : plus une barre est inclinée près de l'horizontale, plus elle est sollicitée. Les fermes de toit et les ponts en treillis utilisent des angles proches de 45° à 60° pour limiter les efforts.
Les lignes électriques ont toujours une flèche (elles « pendent ») : la réduire augmenterait énormément la tension des câbles et des pylônes. En été, le câble se dilate, la flèche augmente et la tension diminue ; en hiver, c'est l'inverse, et le givre ajoute du poids : les ingénieurs dimensionnent pour les deux cas.
4. Conclusion
1,5 min
La tension d'un câble chargé vaut $\frac{F}{2 s i n θ}$ F/2sinθ : elle tend vers l'infini quand l'angle tend vers 0. Un câble parfaitement horizontal est donc impossible sous une charge. La trigonométrie et une limite l'expliquent. J'ouvre sur la chaînette, la courbe que prend un câble sous son propre poids, décrite par la fonction exponentielle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

2 T sin θ = F \Rightarrow T = \frac{F}{2 sin θ} 2Tsinθ=F \Rightarrow T=F/2sinθ 30° : T = F 10° : T \approx 2, 9 F 1° : T \approx 29 F θ \to 0^{+} lim \frac{F}{2 sin θ} = + \infty 30°: T=F 10°: T\approx2,9F 1°: T\approx29F lim_θ\to0⁺F/2sinθ=+\infty

Conclusion : la réponse à la question

Un équilibre de forces et une projection donnent la tension, et une limite montre son explosion pour les petits angles. C'est pourquoi les câbles, les fils et les lignes électriques pendent toujours un peu.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les composantes horizontales s'annulent-elles ?

Par symétrie, les deux tensions ont la même intensité et des directions symétriques.

Que vaut T pour θ = 90° ?

T = F/2 : chaque brin porte la moitié du poids verticalement.

Justifiez sin θ ≈ θ pour θ petit.

La tangente à la courbe du sinus en 0 a pour équation $y = x$ y=x : $sin θ \approx θ$ sinθ≈θ en radians.

Quelle tension pour une charge de 100 N avec θ = 5° ?

$\frac{100}{2 s i n 5°} \approx 574$ 100/2sin5°≈574 N.

Pourquoi une ligne électrique pend-elle plus en été ?

Le câble se dilate avec la chaleur : il s'allonge et la flèche augmente.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser le cosinus au lieu du sinus pour la projection verticale.
Oublier le facteur 2 dû aux deux brins.
Croire qu'un câble très tendu peut devenir horizontal.

Revoir les notions

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