Question transversaleMathsSIRésistance des structures

Où une poutre posée sur deux appuis risque-t-elle le plus de casser ?

Q: Où est le sommet de la parabole a ↦ a(L − a) ?

En $a=L/2$, milieu des racines 0 et L.

Une charge F placée à la distance a d'un appui, sur une poutre de portée L, crée des réactions F(L − a)/L et F a/L, et un moment de flexion maximal M = F a (L − a)/L. Ce trinôme en a est maximal pour a = L/2 : M = F L/4. Une poutre est la plus sollicitée quand la charge est au milieu.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En traversant une passerelle en bois, j'ai remarqué qu'elle fléchissait davantage quand j'étais au milieu. En sciences de l'ingénieur, nous avons calculé les réactions des appuis et le moment de flexion d'une poutre. J'ai été surpris de retrouver une fonction du second degré, dont le maximum, au sommet de la parabole, explique l'endroit le plus dangereux.

L'enjeu et les notions du programme

Écrire l'équilibre d'une poutre, exprimer le moment de flexion en fonction de la position de la charge et le maximiser par l'étude d'un trinôme.

Mathématiques

Second degré : sommet d'une parabole (première)
Systèmes de deux équations (seconde)
Fonctions affines par morceaux (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Statique : équilibre, moments (terminale)
Flexion : moment fléchissant d'une poutre (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une poutre de portée $L$ L repose sur deux appuis A et B. Une charge $F$ F est placée à la distance $a$ a de A. Problématique : quelles forces exercent les appuis, et où la poutre est-elle la plus sollicitée ?
2. Mathématiques : réactions et moment maximal
4,5 min
Équilibre des forces : $R_{A} + R_{B} = F$ R_A+R_B=F. Équilibre des moments autour de A : $R_{B} \times L = F \times a$ R_B× L=F× a. D'où $R_{B} = \frac{F a}{L}$ R_B=Fa/L et $R_{A} = \frac{F ( L - a )}{L}$ R_A=(F(L-a))/L. Exemple : $L = 4$ L=4 m, $a = 1$ a=1 m, $F = 1000$ F=1 000 N : $R_{A} = 750$ R_A=750 N, $R_{B} = 250$ R_B=250 N. L'appui le plus proche porte le plus.
Le moment de flexion en un point situé à la distance $x$ x de A vaut $R_{A} x$ R_Ax pour $x \leq a$ x≤ a : il croît linéairement jusqu'à la charge, puis décroît linéairement jusqu'à B. Il est maximal sous la charge : $M (a) = R_{A} a = \frac{F a ( L - a )}{L}$ M(a)=R_Aa=(Fa(L-a))/L. Dans l'exemple : 750 N·m.
Où placer la charge pour que ce maximum soit le plus grand ? $M (a) = \frac{F}{L} (a L - a^{2})$ M(a)=F/L(aL-a²) est un trinôme en $a$ a, de coefficient dominant négatif : il est maximal au sommet, $a = \frac{L}{2}$ a=L/2, où $M = \frac{F}{L} \times \frac{L ^{2}}{4} = \frac{F L}{4}$ M=F/LtimesL²/4=FL/4, soit 1 000 N·m. La passerelle est la plus sollicitée quand on est au milieu.
3. SI : du moment à la contrainte
2,5 min
La contrainte maximale dans la poutre est proportionnelle au moment : $σ = \frac{M}{I} \times \frac{h}{2}$ σ=M/Itimesh/2. On dimensionne donc la section pour le moment maximal $\frac{F L}{4}$ FL/4, le cas le plus défavorable.
Le diagramme du moment fléchissant, en forme de triangle, montre où renforcer la poutre. Les ponts ont parfois une hauteur variable, plus grande au milieu ; les poutres « d'égale résistance » adaptent leur forme au moment, pour économiser la matière là où il est faible.
4. Conclusion
1,5 min
Le moment de flexion maximal sous une charge vaut $\frac{F a ( L - a )}{L}$ (Fa(L-a))/L, un trinôme maximal au milieu : $\frac{F L}{4}$ FL/4. C'est là qu'une poutre risque le plus de casser, et c'est ce cas qu'on utilise pour la dimensionner. J'ouvre sur les charges mobiles, comme un camion sur un pont, qu'il faut étudier dans toutes leurs positions.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

R_{A} + R_{B} = F R_{B} L = F a \Rightarrow R_{B} = \frac{F a}{L}, R_{A} = \frac{F ( L - a )}{L} R_A+R_B=F R_BL=Fa \Rightarrow R_B=Fa/L, R_A=(F(L-a))/L M (a) = \frac{F a ( L - a )}{L} maximal en a = \frac{L}{2} : M = \frac{F L}{4} L = 4, a = 1 : 750 N\cdotm M(a)=(Fa(L-a))/L maximal en a=L/2: M=FL/4 L=4, a=1: 750 N\cdotm

Conclusion : la réponse à la question

L'équilibre des forces et des moments donne les réactions, et le sommet d'une parabole donne la position la plus dangereuse de la charge. Le second degré est un outil de dimensionnement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce que le moment d'une force ?

Le produit de la force par son bras de levier, la distance perpendiculaire à l'axe de rotation.

Où est le sommet de la parabole a ↦ a(L − a) ?

En $a = \frac{L}{2}$ a=L/2, milieu des racines 0 et L.

Que valent les réactions quand la charge est au milieu ?

F/2 chacune.

Et si la charge est sur un appui ?

Cet appui porte tout, le moment de flexion est nul : la poutre ne travaille pas.

Pourquoi certains ponts sont-ils plus épais au milieu ?

Le moment de flexion y est le plus grand : on y place plus de matière.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier l'équation des moments.
Confondre la position la plus sollicitante et l'appui le plus chargé.
Oublier que le coefficient dominant négatif donne un maximum.

Revoir les notions

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