Quel diamètre faut-il donner à un câble d'acier pour soulever une tonne en toute sécurité ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En visitant un chantier, j'ai vu une grue soulever des charges énormes avec des câbles qui me paraissaient fins. En sciences de l'ingénieur, nous avons appris à calculer la contrainte et l'allongement d'une pièce en traction. J'ai voulu dimensionner moi-même un câble pour une charge d'une tonne, et comprendre le rôle du coefficient de sécurité.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la proportionnalité et l'aire du disque pour dimensionner une pièce, et la loi de Hooke pour prévoir sa déformation.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un câble qui soutient une charge est tendu : chaque millimètre carré de sa section supporte une part de l'effort. Problématique : quelle section choisir pour ne pas dépasser ce que l'acier supporte, et de combien le câble va-t-il s'allonger ?

2. 2. Mathématiques : contrainte et section

   4 min

   Une tonne pèse environ $F=10^4$F=10⁴ N. La contrainte est $\sigma =\frac{F}{S}$σ=F/S, en pascals (N/m²). L'acier choisi a une résistance de 400 MPa ; avec un coefficient de sécurité de 2, on s'autorise ${\sigma }_{\text{adm}}=200$σ_adm=200 MPa.

   Condition : $\frac{F}{S}\le {\sigma }_{\text{adm}}$F/S≤σ_adm, soit $S\ge \frac{10^4}{2\times 10^8}=5\times 10^{-5}$S≥10⁴/2×10⁸=5×10⁻⁵ m², c'est-à-dire 50 mm². Pour un câble plein, $S=\frac{\pi d^2}{4}$S=(π d²)/4, donc $d\ge \sqrt{\frac{4S}{\pi }}\approx 8,0$d≥sqrtfrac4Sπ≈8,0 mm.

   Comme $S$S dépend de $d^2$d², doubler le diamètre multiplie la section, donc la charge admissible, par 4.

   Allongement (loi de Hooke) : $\frac{\Delta L}{L}=\frac{\sigma }{E}$(Δ L)/L=fracσ E, avec $E=210$E=210 GPa pour l'acier. Pour un câble de 10 m : $\Delta L=\frac{FL}{ES}=\frac{10^4\times 10}{2,1\times 10^{11}\times 5\times 10^{-5}}\approx 9,5$Δ L=FL/ES=10⁴×10/2,1×10¹¹×5×10⁻⁵≈9,5 mm. L'allongement est proportionnel à la charge et à la longueur.

3. 3. SI : la réalité des câbles

   3 min

   Un vrai câble est fait de fils torsadés : il est plus souple et, si un fil casse, les autres reprennent l'effort. Sa section métallique est inférieure à celle d'un cylindre plein de même diamètre. Les normes de levage imposent des coefficients de sécurité de 5 ou plus, car le câble s'use, se plie sur des poulies et subit des à-coups.

   Le coefficient de sécurité couvre les incertitudes : sur la charge réelle, sur la résistance du matériau, sur les défauts de fabrication. Le choix du coefficient est une décision d'ingénieur qui engage la responsabilité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Pour soulever une tonne avec une contrainte admissible de 200 MPa, il faut 50 mm² de section, soit un diamètre d'environ 8 mm ; le câble s'allonge alors d'environ 9,5 mm sur 10 m. La proportionnalité et l'aire du disque suffisent au dimensionnement. J'ouvre sur la fatigue, qui fait rompre un câble sous des charges répétées bien inférieures à sa résistance.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre diamètre et rayon dans l'aire.
• Oublier les conversions de mm² en m².
• Négliger le coefficient de sécurité.

Revoir les notions

• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →
• Nombres et calculs (Seconde) →

Autres questions : résistance des structures

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