Pourquoi une planche posée sur la tranche plie-t-elle cent fois moins qu'à plat ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En montant une étagère, j'ai remarqué qu'une planche posée à plat pliait nettement sous le poids des livres, alors que la même planche sur la tranche ne bougeait presque pas. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que la rigidité dépend de la hauteur au cube. J'ai voulu comprendre d'où vient cette puissance trois et calculer le rapport exact.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une formule faisant intervenir une puissance pour comparer deux orientations et comprendre la conception des poutres.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une poutre chargée se courbe : c'est la flexion. Sa flèche dépend de la charge, de la longueur, du matériau et de la forme de sa section. Problématique : pourquoi la même section résiste-t-elle tellement mieux dans un sens que dans l'autre ?

2. 2. Mathématiques : une puissance trois

   4 min

   Pour une section rectangulaire de largeur $b$b et de hauteur $h$h (dans le sens de la charge), le moment quadratique vaut $I=\frac{b{h}^3}{12}$I=bh³/12. La flèche est inversement proportionnelle à $I$I.

   Planche de 20 cm par 2 cm. À plat : $b=0,20$b=0,20 m, $h=0,02$h=0,02 m, $I=\frac{0,20\times 0,02^3}{12}\approx 1,33\times 10^{-7}$I=0,20×0,02³/12≈1,33×10⁻⁷ m⁴. Sur la tranche : $b=0,02$b=0,02, $h=0,20$h=0,20, $I\approx 1,33\times 10^{-5}$I≈1,33×10⁻⁵ m⁴. Le rapport vaut $\frac{0,02\times 0,2^3}{0,2\times 0,02^3}={\left(\frac{0,2}{0,02}\right)}^2=100$0,02×0,2³/0,2×0,02³=(0,2/0,02)²=100 : la hauteur intervient au cube, la largeur seulement à la puissance un.

   D'où vient le cube ? Une fibre située à la distance $y$y du milieu est étirée proportionnellement à $y$y et son effort agit avec un bras de levier $y$y : sa contribution est proportionnelle à $y^2$y². En additionnant sur la hauteur, ${\int }_{-h/2}^{h/2}b{y}^{2}dy=\frac{b{h}^3}{12}$∫_-h/2^(h/2)by² dy=bh³/12. Les fibres éloignées du milieu travaillent beaucoup plus que celles du centre.

3. 3. SI : la forme des poutres

   3 min

   C'est pourquoi les solives d'un plancher sont posées sur la tranche, et pourquoi les poutres métalliques ont une forme en I : on place la matière loin du centre, dans les « semelles », et on garde une âme mince au milieu. À masse égale, on obtient une rigidité bien supérieure.

   Il y a une limite : une planche très haute et très mince peut se déverser (se tordre sur le côté). On ajoute des entretoises pour l'en empêcher. Le choix d'une section est donc un compromis entre rigidité, poids et stabilité.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La rigidité en flexion varie comme $b{h}^3$bh³ : retourner une planche de 20 cm sur 2 cm multiplie sa rigidité par ${\left(\frac{20}{2}\right)}^2=100$(20/2)²=100. La puissance trois vient de l'intégrale des $y^2$y², qui privilégie la matière éloignée du centre. J'ouvre sur les tubes creux, qui appliquent la même idée dans toutes les directions.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre largeur et hauteur dans la formule.
• Croire que la rigidité est proportionnelle à la section.
• Oublier le risque de déversement.

Revoir les notions

• Polynômes de degré 2 et 3 (Première spé maths) →
• Calcul intégral (Terminale spé maths) →

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