Question transversaleMathsSIRésistance des structures

Pourquoi une étagère de 1,50 m plie-t-elle plus de trois fois plus qu'une étagère de 1 m ?

Q: Combien vaut la flèche si l'on double la portée, à charge égale ?

Elle est multipliée par $2³=8$.

Q: Résolvez h³ = 5,1.

$h= racine 3-ième de (5,1) ≈1,72$.

Pour une charge donnée, la flèche d'une poutre est proportionnelle au cube de sa portée : f = F L³ / (48 E I) au centre d'une poutre sur deux appuis. Passer de 1 m à 1,5 m multiplie la flèche par 1,5³ ≈ 3,4. Si la charge est répartie et augmente avec la longueur, c'est même 1,5⁴ ≈ 5,1.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans ma chambre, une étagère de 1,50 m s'est courbée sous mes livres alors que celle de 1 m, de même épaisseur, restait droite. Je pensais que la différence serait proportionnelle à la longueur, soit 50 % de plus. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert que la flèche varie comme le cube de la longueur, et j'ai voulu comprendre cette croissance rapide.

L'enjeu et les notions du programme

Comparer des grandeurs liées par une loi puissance et déterminer l'effet d'un changement d'échelle.

Mathématiques

Fonctions puissances x ↦ x³, x ↦ x⁴ (seconde, première)
Proportionnalité à une puissance, rapports (seconde)
Résolution d'équations x³ = a (première)

Sciences de l'ingénieur

Flexion des poutres, flèche admissible (terminale)
Dimensionnement d'une structure (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
La flèche est le déplacement maximal d'une poutre chargée. Le cahier des charges impose souvent une flèche maximale, par exemple $\frac{1}{300}$ 1/300 de la portée. Problématique : comment la flèche évolue-t-elle avec la longueur ?
2. Mathématiques : une loi en puissance
4 min
Pour une poutre sur deux appuis portant une charge $F$ F en son milieu, la résistance des matériaux donne $f = \frac{F L ^{3}}{48 E I}$ f=FL³/48EI, où $E$ E dépend du matériau et $I$ I de la section. La flèche est proportionnelle à $L^{3}$ L³.
Comparaison à charge égale : $\frac{f ( 1 , 5 )}{f ( 1 )} = 1, 5^{3} = 3, 375$ f(1,5)/f(1)=1,5³=3,375. L'étagère de 1,50 m plie environ 3,4 fois plus.
Si la charge est répartie (des livres sur toute la longueur), la charge totale augmente elle-même avec $L$ L. La flèche d'une charge uniforme $q$ q par mètre vaut $\frac{5 q L ^{4}}{384 E I}$ 5qL⁴/384EI : proportionnelle à $L^{4}$ L⁴, soit $1, 5^{4} \approx 5, 1$ 1,5⁴≈5,1 fois plus.
Inversement, pour garder la même flèche avec une étagère 1,5 fois plus longue (charge répartie), il faut multiplier $I$ I par 5,1, donc l'épaisseur $h$ h par $3 5, 1 \approx 1, 72$ racine 3-ième de (5,1) ≈1,72 : passer de 18 mm à environ 31 mm.
3. SI : dimensionner une étagère
3 min
En pratique, on ajoute un appui au milieu : chaque travée est deux fois plus courte, et la flèche, à charge répartie, est divisée par environ $2^{4} = 16$ 2⁴=16 (un peu moins à cause de la continuité de la planche). C'est bien plus efficace que d'épaissir la planche.
Le choix du matériau compte aussi : le module $E$ E du chêne est environ 12 GPa, celui de l'aggloméré environ 3 GPa. Avec le même calcul, on vérifie qu'une flèche reste inférieure à $\frac{L}{300}$ L/300, la limite courante pour qu'une étagère paraisse droite.
4. Conclusion
1,5 min
La flèche croît comme le cube de la portée, et même comme la puissance quatre quand la charge s'étale : 1,5 m au lieu de 1 m, c'est 3,4 à 5,1 fois plus de flèche. Un appui intermédiaire est la meilleure parade. J'ouvre sur les ponts, dont la portée est limitée par ce même effet d'échelle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

f = \frac{F L ^{3}}{48 E I} \frac{f ( 1 , 5 )}{f ( 1 )} = 1, 5^{3} \approx 3, 4 f=FL³/48EI f(1,5)/f(1)=1,5³\approx3,4 charge r \overset{e}{ˊ} partie : f = \frac{5 q L ^{4}}{384 E I} \Rightarrow 1, 5^{4} \approx 5, 1 h \times 3 5, 1 \approx 1, 72 h charge répartie : f=5qL⁴/384EI\Rightarrow1,5⁴\approx5,1 h\times racine 3-ième de (5,1) \approx1,72 h

Conclusion : la réponse à la question

Les lois en puissance trompent l'intuition : allonger une poutre de 50 % multiplie sa flèche par plus de trois. Le calcul permet de choisir entre épaissir, changer de matériau ou ajouter un appui.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Combien vaut la flèche si l'on double la portée, à charge égale ?

Elle est multipliée par $2^{3} = 8$ 2³=8.

Pourquoi L⁴ pour une charge répartie ?

La charge totale qL est elle-même proportionnelle à L, ce qui ajoute un facteur L.

Résolvez h³ = 5,1.

$h = 3 5, 1 \approx 1, 72$ h= racine 3-ième de (5,1) ≈1,72.

Pourquoi un appui au milieu est-il si efficace ?

Chaque travée a une portée deux fois plus courte : la flèche est divisée par environ 2⁴ = 16.

Quelle flèche maximale pour une étagère de 1,2 m avec la règle L/300 ?

4 mm.

Les pièges qui coûtent des points

Supposer la flèche proportionnelle à la longueur.
Oublier que la charge répartie augmente avec la longueur.
Épaissir une planche alors qu'un appui serait plus efficace.

Revoir les notions

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