Question transversaleMathsSIAsservissement et régulation

Un asservissement peut-il être plus précis que le capteur qui le mesure ?

La boucle compare la consigne à la mesure, pas à la vraie sortie. Si le capteur indique 1 °C de trop, la boucle stabilise la mesure sur la consigne : la pièce est 1 °C trop froide, quel que soit le gain. L'erreur du capteur passe entièrement dans la sortie : la précision d'un asservissement est limitée par celle de son capteur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans notre salle de classe, le radiateur régulé laissait la pièce trop froide, alors que le thermostat affichait bien 20 °C. Un technicien a découvert que la sonde était placée au-dessus d'une source de chaleur. Cela m'a fait comprendre une limite fondamentale des asservissements, que j'ai voulu démontrer avec le schéma-bloc étudié en sciences de l'ingénieur.

L'enjeu et les notions du programme

Écrire les équations d'une boucle fermée avec un capteur biaisé et montrer, par un calcul de limite, que le biais n'est pas corrigé.

Mathématiques

Équations et calcul littéral (seconde)
Limites quand un paramètre tend vers l'infini (terminale)
Erreur absolue, moyenne et dispersion des mesures (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Chaîne d'information : capteurs, conditionnement (première)
Systèmes asservis, précision (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un asservissement corrige l'écart entre la consigne et la mesure de la sortie. Problématique : que se passe-t-il si le capteur se trompe, et un correcteur très performant peut-il compenser cette erreur ?
2. Mathématiques : la boucle avec un biais
4 min
Notons $s$ s la vraie sortie et $m = s + b$ m=s+b la mesure, où $b$ b est le biais du capteur (par exemple $b = + 1$ b=+1 °C). L'écart vaut $ε = c - m$ ε=c-m. Avec un correcteur proportionnel de gain $K$ K et un système de gain $G$ G, en régime permanent : $s = K G (c - s - b)$ s=KG(c-s-b).
On résout : $s = \frac{K G}{1 + K G} (c - b)$ s=KG/(1+KG)(c-b). Quand $K G$ KG devient très grand, $\frac{K G}{1 + K G} \to 1$ KG/(1+KG)→1 et $s \to c - b$ s→ c-b. Avec une action intégrale, l'écart $c - m$ c-m est exactement annulé : $m = c$ m=c, donc $s = c - b$ s=c-b.
Pour une consigne de 20 °C et un capteur qui indique 1 °C de trop, la pièce se stabilise à 19 °C. Le correcteur a parfaitement fait son travail sur la mesure ; c'est la mesure qui est fausse.
Les perturbations sur le système, elles, sont divisées par $1 + K G$ 1+KG. Le biais du capteur, au contraire, passe intégralement : la boucle ne peut pas distinguer une erreur de mesure d'un vrai écart.
3. SI : choisir et placer le capteur
3 min
La précision d'un asservissement est donc d'abord celle de son capteur : on choisit un capteur dont l'incertitude est compatible avec le cahier des charges, on l'étalonne, et on le place là où la grandeur mesurée est représentative (pas près d'une fenêtre ou d'un radiateur).
Le bruit de mesure (erreur aléatoire) a un autre effet : un gain élevé l'amplifie et fait trembler la commande. On filtre alors la mesure, par exemple en faisant la moyenne de plusieurs valeurs successives, ce qui réduit l'écart type d'un facteur $n$ √n pour $n$ n mesures indépendantes.
4. Conclusion
1,5 min
Un asservissement ne peut pas être plus précis que son capteur : il annule l'écart mesuré, si bien qu'un biais $b$ b donne une sortie $c - b$ c-b, quel que soit le gain. Investir dans un bon capteur compte autant que régler le correcteur. J'ouvre sur la fusion de plusieurs capteurs, utilisée dans les drones et les téléphones.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

m = s + b s = K G (c - s - b) \Rightarrow s = \frac{K G}{1 + K G} (c - b) K G \to + \infty c - b m=s+b s=KG(c-s-b) \Rightarrow s=KG/(1+KG)(c-b) \to c-b c = 20^{\circ} C, b = + 1^{\circ} C \Rightarrow s = 19^{\circ} C c=20 ° C , b=+1 ° C \Rightarrow s=19 ° C

Conclusion : la réponse à la question

La boucle fermée corrige les perturbations du système, mais reproduit fidèlement les erreurs de son capteur. Un calcul de limite le démontre : la mesure est la référence de tout asservissement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que devient la sortie si le capteur sous-estime de 2 °C ?

b = −2 : la sortie se stabilise à c + 2 = 22 °C.

Pourquoi un gain plus élevé ne corrige-t-il pas le biais ?

La boucle annule l'écart entre consigne et mesure ; elle ne connaît pas la vraie sortie.

Comment réduire le bruit d'un capteur ?

En moyennant plusieurs mesures : l'écart type de la moyenne de n mesures indépendantes est divisé par √n.

Qu'est-ce qu'étalonner un capteur ?

Comparer ses indications à une référence connue pour corriger son biais.

Calculez s pour KG = 9, c = 20 et b = 1.

$s = \frac{9}{10} \times 19 = 17, 1$ s=9/10×19=17,1 °C.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'un meilleur correcteur compense un mauvais capteur.
Confondre biais (erreur systématique) et bruit (erreur aléatoire).
Oublier que les perturbations, elles, sont atténuées.

Revoir les notions

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