Pourquoi choisit-on des nombres de dents premiers entre eux pour les engrenages ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En démontant une boîte de vitesses usagée en sciences de l'ingénieur, j'ai remarqué que les nombres de dents des roues semblaient étranges : 17, 23, 41. Le professeur m'a expliqué qu'ils étaient choisis pour être premiers entre eux. J'ai voulu comprendre pourquoi, et j'ai retrouvé le PGCD et le PPCM étudiés au collège et en seconde.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le PGCD et le PPCM pour déterminer quelles dents se rencontrent et en déduire un choix de conception.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Deux roues dentées engrènent : à chaque instant, une dent de l'une est en contact avec une dent de l'autre. Si une dent présente un petit défaut, elle use les dents qu'elle rencontre. Problématique : comment choisir les nombres de dents pour que l'usure se répartisse ?

2. 2. Mathématiques : PGCD et PPCM

   4 min

   On numérote les dents de la petite roue de 0 à $a-1$a-1 et celles de la grande de 0 à $b-1$b-1. Après $n$n passages de dents, la dent $n$n modulo $a$a de la petite roue touche la dent $n$n modulo $b$b de la grande.

   Cas $a=20$a=20, $b=60$b=60 : PGCD = 20. La dent 0 de la petite roue touche les dents 0, 20, 40 de la grande, puis revient à 0. Elle ne rencontre que 3 dents sur 60. Plus généralement, chaque dent ne rencontre que $\frac{b}{\text{PGCD}(a,b)}$b/(PGCD (a,b)) dents de l'autre roue.

   Cas $a=20$a=20, $b=51$b=51 : PGCD = 1, les nombres sont premiers entre eux. Chaque dent de la petite roue rencontre les 51 dents de la grande. La même paire se retrouve après $\text{PPCM}(20,51)=\frac{20\times 51}{1}=1020$PPCM (20,51)=20×51/1=1 020 passages, c'est-à-dire 51 tours de la petite roue.

   Le rapport de réduction change à peine : $\frac{51}{20}=2,55$51/20=2,55 au lieu de 3. On accepte souvent cette petite différence pour un gain important de durée de vie.

3. 3. SI : la « dent de chasse »

   3 min

   Les mécaniciens appellent « dent de chasse » la dent ajoutée pour rendre les nombres premiers entre eux (par exemple 61 au lieu de 60). Elle évite qu'un défaut de fabrication ou une impureté use toujours le même groupe de dents, ce qui produirait des vibrations et une usure prématurée.

   Le choix tient compte d'autres contraintes : rapport voulu, encombrement, nombre minimal de dents pour un engrènement correct (souvent au moins 17). Le même raisonnement sert pour les chaînes et les pignons de vélo : un nombre impair de maillons et de dents répartit l'usure.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec des nombres de dents premiers entre eux, chaque dent rencontre toutes les dents de l'autre roue, et une même paire ne se retrouve qu'après un nombre de passages égal au PPCM : 1 020 pour 20 et 51. L'arithmétique de seconde allonge la vie des engrenages. J'ouvre sur les engrenages des horloges astronomiques, dont les rapports approchent des durées astronomiques par des fractions.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre PGCD et PPCM.
• Croire que des nombres premiers sont nécessaires : il suffit qu'ils soient premiers entre eux.
• Oublier l'effet sur le rapport de réduction.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• PGCD, Bézout et Gauss (Terminale maths expertes) →

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