Comment un ingénieur peut-il garantir qu'une pièce ne cassera pas, alors que la résistance des matériaux varie d'une pièce à l'autre ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons fait des essais de traction sur des éprouvettes d'un même matériau, et les résultats variaient de plusieurs pour cent. Je me suis demandé comment un ingénieur peut promettre qu'une pièce tiendra, si la résistance change d'une pièce à l'autre. J'ai découvert que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, étudiée en terminale, permet de quantifier cette garantie.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'espérance, la variance et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour majorer une probabilité de rupture et justifier une marge de sécurité.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Des essais sur un lot de pièces donnent une résistance moyenne de 300 MPa, avec un écart type de 20 MPa. En service, la pièce subira 200 MPa. Problématique : quelle proportion de pièces risque de casser, si l'on ne connaît que la moyenne et l'écart type ?

2. 2. Mathématiques : une garantie sans hypothèse

   4 min

   Soit $R$R la résistance d'une pièce prise au hasard, d'espérance $\mu =300$μ=300 et d'écart type $\sigma =20$σ=20. La pièce casse si $R\le 200$R≤200, ce qui implique $|R-\mu |\ge 100$|R-μ|≥100.

   L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour tout $a>0$a>0, $P(|R-\mu |\ge a)\le \frac{{\sigma }^2}{a^2}$P(|R-μ|≥ a)≤σ²/a². Avec $a=100$a=100 : $P(R\le 200)\le \frac{400}{10000}=0,04$P(R≤200)≤400/(10 000)=0,04. Au plus 4 % des pièces cassent, quelle que soit la forme exacte de la loi.

   En écrivant $a=k\sigma$a=kσ : $P(|R-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$P(|R-μ|≥ kσ)≤1/k². La marge est ici de $k=5$k=5 écarts types. Avec $k=3$k=3, la garantie ne serait que de $\frac{1}{9}\approx 11\%$1/9≈11 %. Le coefficient de sécurité, rapport $\frac{300}{200}=1,5$300/200=1,5, ne suffit pas à juger : il faut le comparer à la dispersion.

   L'inégalité est très prudente. Si l'on sait que la résistance suit une loi en cloche, la vraie probabilité est bien plus petite ; mais l'inégalité vaut même quand on ne sait rien de plus.

3. 3. SI : du lot à la pièce

   3 min

   L'ingénieur estime $\mu$μ et $\sigma$σ par des essais sur un échantillon, puis fixe une contrainte admissible assez éloignée de la moyenne, mesurée en écarts types. Un matériau plus régulier ($\sigma$σ plus petit) permet une contrainte admissible plus élevée : la qualité de fabrication a une valeur économique.

   Dans l'aéronautique, on vise des probabilités de défaillance extrêmement faibles : on combine des marges en écarts types, des contrôles de chaque pièce et une redondance des éléments. Le coefficient de sécurité tient aussi compte de l'incertitude sur la charge elle-même, également aléatoire.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev transforme une moyenne et un écart type en garantie : avec 5 écarts types de marge, moins de 4 % de ruptures, sans hypothèse sur la loi. La sécurité se mesure en écarts types, pas seulement en coefficient. J'ouvre sur les méthodes dites « six sigma », qui visent des marges de six écarts types.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre majoration et valeur exacte de la probabilité.
• Juger la sécurité au seul coefficient, sans la dispersion.
• Oublier l'incertitude sur la charge.

Revoir les notions

• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

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