Question transversaleMathsSIConcevoir et optimiser

Comment dessiner un escalier confortable pour monter 2,70 m ?

Q: Calculez la pente d'un escalier à 18 cm de hauteur et 27 cm de giron.

$tanα=18/27≈0,67$, $α≈34°$.

La loi de Blondel relie la hauteur h d'une marche et sa profondeur g : 2h + g ≈ 63 cm, la longueur d'un pas. Pour 2,70 m, 15 marches de 18 cm donnent g = 27 cm et un escalier de 3,78 m de long ; 16 marches de 16,9 cm donnent g ≈ 29 cm et 4,39 m. Le confort se paie en place.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En aidant mon oncle à rénover sa maison, j'ai découvert qu'un menuisier calculait l'escalier avec une formule datant du XVIIᵉ siècle. Je pensais que l'on choisissait les marches au hasard. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié l'ergonomie, et j'ai compris que cette formule traduit la longueur d'un pas humain, et que le choix du nombre de marches est un petit problème de division et d'optimisation.

L'enjeu et les notions du programme

Traduire une règle ergonomique en équation, résoudre un problème de nombre entier de marches et comparer des solutions.

Mathématiques

Fonctions affines, équations (seconde)
Division, partie entière, encadrement (seconde)
Trigonométrie : pente et angle (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Conception centrée sur l'utilisateur, ergonomie (première)
Normes et contraintes d'un cahier des charges (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un escalier doit monter une hauteur de 2,70 m entre deux étages. Chaque marche a une hauteur $h$ h et une profondeur, le giron $g$ g. Problématique : comment choisir le nombre de marches et leurs dimensions pour un escalier confortable ?
2. Mathématiques : une règle et un nombre entier
4 min
La loi de Blondel (1675) affirme qu'un escalier est confortable si $2 h + g$ 2h+g est compris entre 60 et 64 cm, la longueur moyenne d'un pas. On vise 63 cm. Monter coûte deux fois plus d'effort qu'avancer, d'où le coefficient 2.
Le nombre de marches $n$ n doit être entier et vérifier $nh = 270$ nh=270 cm. Avec une hauteur confortable entre 16 et 18 cm : $\frac{270}{18} = 15$ 270/18=15 et $\frac{270}{16} \approx 16, 9$ 270/16≈16,9. Deux choix raisonnables : 15 ou 16 marches.
15 marches : $h = 18$ h=18 cm, $g = 63 - 36 = 27$ g=63-36=27 cm. Il y a 14 girons (la dernière marche est le palier) : longueur au sol $14 \times 27 = 378$ 14×27=378 cm. Pente : $tan α = \frac{18}{27} \approx 0, 67$ tanα=18/27≈0,67, soit environ 34°.
16 marches : $h \approx 16, 9$ h≈16,9 cm, $g \approx 29, 3$ g≈29,3 cm, longueur $15 \times 29, 3 \approx 439$ 15×29,3≈439 cm. Pente environ 30°, plus douce. Il faut 61 cm de plus au sol.
La règle transforme la contrainte de confort en une relation affine entre $h$ h et $g$ g : choisir $h$ h fixe $g$ g.
3. SI : le cahier des charges complet
3 min
Les normes d'accessibilité et de sécurité ajoutent des contraintes : hauteur maximale, giron minimal, échappée (hauteur libre au-dessus de la tête), garde-corps. Un escalier d'établissement recevant du public exige des marches de 16 cm au plus.
Le choix final est un compromis entre confort (16 marches) et encombrement (15 marches) : dans une petite maison, on peut opter pour un escalier tournant, dont les marches sont calculées le long de la ligne où l'on marche. Le menuisier vérifie enfin que toutes les marches sont identiques : un écart de quelques millimètres suffit à faire trébucher.
4. Conclusion
1,5 min
Pour monter 2,70 m, 15 marches de 18 cm sur 3,78 m ou 16 marches de 16,9 cm sur 4,39 m respectent la loi de Blondel $2 h + g \approx 63$ 2h+g≈63 cm. Une relation affine et une contrainte de nombre entier suffisent à concevoir un escalier. J'ouvre sur les escaliers hélicoïdaux, dont le calcul fait intervenir la trigonométrie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

2 h + g \approx 63 cm nh = 270 cm 2h+g\approx63 cm nh=270 cm n = 15 : h = 18, g = 27, L = 14 \times 27 = 378 cm n = 16 : h \approx 16, 9, g \approx 29, 3, L \approx 439 cm n=15: h=18, g=27, L=14\times27=378 cm n=16: h\approx16,9, g\approx29,3, L\approx439 cm

Conclusion : la réponse à la question

Concevoir un escalier, c'est traduire le pas humain en équation, puis tenir compte du nombre entier de marches et de la place disponible. Les mathématiques simples de seconde font des escaliers confortables.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi 14 girons pour 15 marches ?

La dernière montée arrive sur le palier de l'étage, qui ne compte pas comme giron.

Calculez la pente d'un escalier à 18 cm de hauteur et 27 cm de giron.

$tan α = \frac{18}{27} \approx 0, 67$ tanα=18/27≈0,67, $α \approx 34°$ α≈34°.

Que donne la loi de Blondel pour des marches de 15 cm ?

Un giron d'environ 33 cm.

Pourquoi le coefficient 2 devant h ?

Monter d'un centimètre demande à peu près deux fois l'effort d'avancer d'un centimètre.

Pourquoi toutes les marches doivent-elles être identiques ?

Le pied mémorise la hauteur de marche ; une marche différente fait trébucher.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que le nombre de marches est entier.
Compter autant de girons que de marches.
Ignorer les normes de sécurité.

Revoir les notions

Autres questions : concevoir et optimiser

Toutes les questions maths-sciences de l'ingénieur →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →